Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ${{4}^{x}}+{{2}^{x}}+4={{3}^{m}}({{2}^{x}}+1)$ có hai nghiệm phân biệt.
A. $1<m\le {{\log }_{3}}4$
B. ${{\log }_{3}}4\le m<1$
C. $1<m<{{\log }_{3}}4$
D. ${{\log }_{3}}4<m<1$
A. $1<m\le {{\log }_{3}}4$
B. ${{\log }_{3}}4\le m<1$
C. $1<m<{{\log }_{3}}4$
D. ${{\log }_{3}}4<m<1$
Ta có: ${{4}^{x}}+{{2}^{x}}+4={{3}^{m}}({{2}^{x}}+1)\Leftrightarrow \dfrac{{{4}^{x}}+{{2}^{x}}+4}{{{2}^{x}}+1}={{3}^{m}}$ (1)
Đặt ${{2}^{x}}=t$ >0, phương trình (1) trở thành $\dfrac{{{t}^{2}}+t+4}{t+1}={{3}^{m}}$ (2)
Ta nhận thấy rằng, với mỗi nghiệm $t>0$ của phương trình (2) có tương ứng một nghiệm x.
Bởi vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm $t>0$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+t+4}{t+1}$ với $t>0$. Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+2t-3}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}};{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1>0 \\
& t=-3<0 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $3<{{3}^{m}}<4\Leftrightarrow 1<m<{{\log }_{3}}4$
Đặt ${{2}^{x}}=t$ >0, phương trình (1) trở thành $\dfrac{{{t}^{2}}+t+4}{t+1}={{3}^{m}}$ (2)
Ta nhận thấy rằng, với mỗi nghiệm $t>0$ của phương trình (2) có tương ứng một nghiệm x.
Bởi vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm $t>0$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+t+4}{t+1}$ với $t>0$. Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+2t-3}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}};{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1>0 \\
& t=-3<0 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $3<{{3}^{m}}<4\Leftrightarrow 1<m<{{\log }_{3}}4$
Đáp án C.