Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ${{\left( 7-3\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}+m{{\left( 7+3\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}={{2}^{{{x}^{2}}-1}}$ có đúng bốn nghiệm phân biệt
A. $0<m<\dfrac{1}{16}$
B. $0\le m<\dfrac{1}{16}$
C. $-\dfrac{1}{2}<m<0$
D. $-\dfrac{1}{2}<m\le \dfrac{1}{16}$
A. $0<m<\dfrac{1}{16}$
B. $0\le m<\dfrac{1}{16}$
C. $-\dfrac{1}{2}<m<0$
D. $-\dfrac{1}{2}<m\le \dfrac{1}{16}$
Ta có: $\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}.\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}=1$
$\Rightarrow {{\left( 7-3\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}+m{{\left( 7+3\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}={{2}^{{{x}^{2}}-1}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4}{7+3\sqrt{5}} \right)}^{{{x}^{2}}}}+m{{\left( 7+3\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}{{.2}^{{{x}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow {{2.2}^{2{{x}^{2}}}}-{{2}^{{{x}^{2}}}}.{{\left( 7+3\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}+2m{{\left( 7+3\sqrt{5} \right)}^{2{{x}^{2}}}}=0$
$\Leftrightarrow 2.{{\left( \dfrac{2}{7+3\sqrt{5}} \right)}^{2{{x}^{2}}}}-{{\left( \dfrac{2}{7+3\sqrt{5}} \right)}^{{{x}^{2}}}}+2m=0$ (*)
Đặt ${{\left( \dfrac{2}{7+3\sqrt{5}} \right)}^{2{{x}^{2}}}}=t\Rightarrow {{x}^{2}}={{\log }_{\dfrac{2}{7+3\sqrt{5}}}}t$
Ta có: $0<\dfrac{2}{7+3\sqrt{5}}<1\Rightarrow {{\log }_{\dfrac{2}{7+3\sqrt{5}}}}t>0\Leftrightarrow 0<t<1\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t+2m=0$ (1)
Để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
$t\in \left( 0; 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& af\left( 0 \right)>0 \\
& af\left( 1 \right)>0 \\
& 0<-\dfrac{b}{2a}<1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-16m>0 \\
& 4m>0 \\
& 2\left( 2m+1 \right)>0 \\
& 0<\dfrac{1}{2}<1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<\dfrac{1}{16} \\
& m>0 \\
& m>-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<m<\dfrac{1}{16}$
$\Rightarrow {{\left( 7-3\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}+m{{\left( 7+3\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}={{2}^{{{x}^{2}}-1}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4}{7+3\sqrt{5}} \right)}^{{{x}^{2}}}}+m{{\left( 7+3\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}{{.2}^{{{x}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow {{2.2}^{2{{x}^{2}}}}-{{2}^{{{x}^{2}}}}.{{\left( 7+3\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}+2m{{\left( 7+3\sqrt{5} \right)}^{2{{x}^{2}}}}=0$
$\Leftrightarrow 2.{{\left( \dfrac{2}{7+3\sqrt{5}} \right)}^{2{{x}^{2}}}}-{{\left( \dfrac{2}{7+3\sqrt{5}} \right)}^{{{x}^{2}}}}+2m=0$ (*)
Đặt ${{\left( \dfrac{2}{7+3\sqrt{5}} \right)}^{2{{x}^{2}}}}=t\Rightarrow {{x}^{2}}={{\log }_{\dfrac{2}{7+3\sqrt{5}}}}t$
Ta có: $0<\dfrac{2}{7+3\sqrt{5}}<1\Rightarrow {{\log }_{\dfrac{2}{7+3\sqrt{5}}}}t>0\Leftrightarrow 0<t<1\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t+2m=0$ (1)
Để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
$t\in \left( 0; 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& af\left( 0 \right)>0 \\
& af\left( 1 \right)>0 \\
& 0<-\dfrac{b}{2a}<1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-16m>0 \\
& 4m>0 \\
& 2\left( 2m+1 \right)>0 \\
& 0<\dfrac{1}{2}<1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<\dfrac{1}{16} \\
& m>0 \\
& m>-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<m<\dfrac{1}{16}$
Đáp án A.