Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ${{\left(...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

{(7 - 3 \sqrt{5})}^{x^{2}} + m {(7 - 3 \sqrt{5})}^{x^{2}} = 2^{x^{2} - 1}

có đúng hai nghiệm phân biệt.
A.

[\begin{aligned} - \frac{1}{2} < m \leq 0 \\ m = \frac{1}{16} \end{aligned}

.
B.

0 < m < \frac{1}{16}

.
C.

0 \leq m < \frac{1}{16}

.
D.

- \frac{1}{2} < m \leq \frac{1}{16}

.

Có

{(7 - 3 \sqrt{5})}^{x^{2}} + m {(7 + 3 \sqrt{5})}^{x^{2}} = 2^{x^{2} - 1} \Leftrightarrow {(\frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2})}^{x^{2}} + m {(\frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2})}^{x^{2}} = \frac{1}{2}

(1)

Đặt

t = {(\frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2})}^{x^{2}}

,

0 < t < 1

. Mỗi giá trị

t \in (0; 1)

cho ta 2 giá trị x

(1) \Leftrightarrow t + m . \frac{1}{t} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{1}{2} t - t^{2}

,

0 < t < 1

.

Dựa bảng biến thiên suy ra

[\begin{aligned} - \frac{1}{2} < m \leq 0 \\ m = \frac{1}{16} \end{aligned}

Đáp án A.