Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số...

Cách 1: + TXĐ: $D=\mathbb{R}.$
Ta có ${y}'={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1.$
Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm $x=1$
$\Rightarrow {y}'\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow {{1}^{2}}-2m.1+{{m}^{2}}-m+1=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right..$
+ Với $m=1,{y}'={{x}^{2}}-2x+1={{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0\forall x\in \mathbb{R},{y}'=0\Leftrightarrow x=1.$
$\Rightarrow $ Hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)x+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $m=1.$
Vậy $m=1$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với$m=2,{y}'={{x}^{2}}-4x+3,{y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right..$
${{y}'}'=2x-4\Rightarrow {{y}'}'\left( 1 \right)=2.1-4=-2<0.$
$\Rightarrow $ Hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)x+1$ đạt cực đại tại điểm $x=1$ khi $m=2.$
Cách 2: (Áp dụng đối với hàm đa thức bậc 3)
Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm $x=1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {y}'\left( 1 \right)=0 \\
& {{y}'}'\left( 1 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-3m+2=0 \\
& 2-2m<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=2$