Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3mx+2$ cắt đường tròn tâm $I\left( 1;1 \right)$, bán kính $R=1$ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất?
A. $m=\dfrac{1\pm \sqrt{3}}{2}.$
B. $m=\dfrac{2\pm \sqrt{3}}{2}.$
C. $m=\dfrac{2\pm \sqrt{5}}{2}.$
D. $m=\dfrac{2\pm \sqrt{3}}{3}.$
A. $m=\dfrac{1\pm \sqrt{3}}{2}.$
B. $m=\dfrac{2\pm \sqrt{3}}{2}.$
C. $m=\dfrac{2\pm \sqrt{5}}{2}.$
D. $m=\dfrac{2\pm \sqrt{3}}{3}.$
Ta có $y={{x}^{3}}-3mx+2\Rightarrow {y}'=3{{x}^{2}}-3m$
Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m>0$
Ta có $y=\dfrac{1}{3}x.{y}'-2mx+2.$
Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là $y=-2mx+2\Leftrightarrow 2mx+y-2=0 \left( d \right).$
Đường thẳng $\Delta $ cắt đường tròn tâm $I\left( 1;1 \right)$, bán kính $R=1$ tại hai điểm phân biệt $A,B\Leftrightarrow d\left( I;\Delta \right)<R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2m-1 \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}<1$
$\Leftrightarrow \left| 2m-1 \right|<\sqrt{4{{m}^{2}}+1}\Leftrightarrow -4m<0$ luôn đúng do $m>0$
Ta có ${{S}_{IAB}}=\dfrac{1}{2}.IA.IB.\sin AIB=\dfrac{1}{2}\sin AIB\le \dfrac{1}{2}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \sin AIB=1\Leftrightarrow \widehat{AIB}=90{}^\circ .$
Khi đó tam giác IAB vuông cân tại I có $IA=1$ nên $d\left( I;\Delta \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2m-1 \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8m+1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{2\pm \sqrt{3}}{2}$ thỏa mãn điều kiện (1)
Vậy diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất khi $m=\dfrac{2\pm \sqrt{3}}{2}.$
Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m>0$
Ta có $y=\dfrac{1}{3}x.{y}'-2mx+2.$
Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là $y=-2mx+2\Leftrightarrow 2mx+y-2=0 \left( d \right).$
Đường thẳng $\Delta $ cắt đường tròn tâm $I\left( 1;1 \right)$, bán kính $R=1$ tại hai điểm phân biệt $A,B\Leftrightarrow d\left( I;\Delta \right)<R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2m-1 \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}<1$
$\Leftrightarrow \left| 2m-1 \right|<\sqrt{4{{m}^{2}}+1}\Leftrightarrow -4m<0$ luôn đúng do $m>0$
Ta có ${{S}_{IAB}}=\dfrac{1}{2}.IA.IB.\sin AIB=\dfrac{1}{2}\sin AIB\le \dfrac{1}{2}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \sin AIB=1\Leftrightarrow \widehat{AIB}=90{}^\circ .$
Khi đó tam giác IAB vuông cân tại I có $IA=1$ nên $d\left( I;\Delta \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2m-1 \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8m+1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{2\pm \sqrt{3}}{2}$ thỏa mãn điều kiện (1)
Vậy diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất khi $m=\dfrac{2\pm \sqrt{3}}{2}.$
Đáp án B.