Google
Câu hỏi: Tìm hệ số của ${{x}^{5}}$ trong khai triển biểu thức $P=x{{\left( 1-2x \right)}^{n}}+{{x}^{2}}{{\left( 1+3x \right)}^{2n}}$ thành đa thức biết $A_{n}^{2}+C_{n+1}^{n-1}=5.$
A. 256.
B. 108.
C. 312.
D. 81.
A. 256.
B. 108.
C. 312.
D. 81.
Ta có $A_{n}^{2}+C_{n+1}^{n-1}=5\Rightarrow \dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!}+\dfrac{\left( n+1 \right)!}{2!.\left( n-1 \right)!}=5\Rightarrow 2n\left( n-1 \right)+\left( n+1 \right)n=10\Rightarrow n=2$
$\Rightarrow P=x{{\left( 1-2x \right)}^{2}}+{{x}^{2}}{{\left( 1+3x \right)}^{4}}$
$\Rightarrow $ Hệ số của ${{x}^{5}}$ trong P là hệ số của ${{x}^{3}}$ trong ${{\left( 1+3x \right)}^{4}}.$
Ta có ${{\left( 1+3x \right)}^{4}}=\underset{k=0}{\overset{4}{\mathop \sum }} C_{4}^{k}{{.1}^{4-k}}.{{\left( 3x \right)}^{k}}\Rightarrow k=3\Rightarrow $ Hệ số cần tìm bằng $C_{4}^{3}{{.1.3}^{3}}=108.$ Chọn B.
$\Rightarrow P=x{{\left( 1-2x \right)}^{2}}+{{x}^{2}}{{\left( 1+3x \right)}^{4}}$
$\Rightarrow $ Hệ số của ${{x}^{5}}$ trong P là hệ số của ${{x}^{3}}$ trong ${{\left( 1+3x \right)}^{4}}.$
Ta có ${{\left( 1+3x \right)}^{4}}=\underset{k=0}{\overset{4}{\mathop \sum }} C_{4}^{k}{{.1}^{4-k}}.{{\left( 3x \right)}^{k}}\Rightarrow k=3\Rightarrow $ Hệ số cần tìm bằng $C_{4}^{3}{{.1.3}^{3}}=108.$ Chọn B.
Đáp án B.