Google
Câu hỏi: Tìm hằng số a để hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{x+\sqrt{x}}$ có một nguyên hàm là $F\left( x \right)=a\ln \left( \sqrt{x}+1 \right)+5$.
A. $a=\dfrac{1}{2}.$
B. $a=3.$
C. $a=1.$
D. $a=2.$
A. $a=\dfrac{1}{2}.$
B. $a=3.$
C. $a=1.$
D. $a=2.$
Do $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ nên $F'\left( x \right)=f\left( x \right)$.
Ta tính: $F'\left( x \right)=\left[ a\ln \left( \sqrt{x}+1 \right)+5 \right]'=a.\dfrac{\left( \sqrt{x}+1 \right)'}{\sqrt{x}+1}=a.\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{a}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)}=\dfrac{a}{2}.\dfrac{1}{x+\sqrt{x}}.$
Đồng nhất hệ số ta được $\dfrac{a}{2}=1\Leftrightarrow a=2.$
Ta tính: $F'\left( x \right)=\left[ a\ln \left( \sqrt{x}+1 \right)+5 \right]'=a.\dfrac{\left( \sqrt{x}+1 \right)'}{\sqrt{x}+1}=a.\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{a}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)}=\dfrac{a}{2}.\dfrac{1}{x+\sqrt{x}}.$
Đồng nhất hệ số ta được $\dfrac{a}{2}=1\Leftrightarrow a=2.$
Đáp án D.