Google
Câu hỏi: Tìm giá trị tham số $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+2m+3$ có ba điểm cực trị $A,B,C$ sao cho trục hoành chia tam giác $ABC$ thành một tam giác và một hình thang, biết rằng tỉ số diện tích tam giác nhỏ được chia ra và diện tích tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{4}{9}$
A. $m=\dfrac{1+\sqrt{15}}{2}$.
B. $m=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$.
C. $m=\dfrac{5+\sqrt{3}}{2}$.
D. $m=\dfrac{-1+\sqrt{15}}{2}$.
Để hàm số có ba cực trị thì
$a.b<0\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1$
${y}'=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \Rightarrow y=2m+3 \\
& x=\pm \sqrt{m+1} \Rightarrow y=2-{{m}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Do trục hoành chia tam giác $ABC$ thành một tam giác và một hình thang $\Rightarrow 2m+3>0;2-{{m}^{2}}<0$.
Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của trục $Ox$ và 2 cạnh $AB,AC$.
Ta có $\dfrac{{{S}_{AMN}}}{{{S}_{ABC}}}=\dfrac{AM}{AB}.\dfrac{AN}{AC}={{\left( \dfrac{AO}{AI} \right)}^{2}}=\dfrac{4}{9}$, với $I$ là trung điểm của $BC$.
Suy ra : $\dfrac{AO}{AI}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow \dfrac{2m+3}{{{\left( m+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-2m-7=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1\pm \sqrt{15}}{2}$.
Do điều kiện $m>-1$ nên chọn $m=\dfrac{1+\sqrt{15}}{2}$.
A. $m=\dfrac{1+\sqrt{15}}{2}$.
B. $m=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$.
C. $m=\dfrac{5+\sqrt{3}}{2}$.
D. $m=\dfrac{-1+\sqrt{15}}{2}$.
Để hàm số có ba cực trị thì
$a.b<0\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1$
${y}'=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \Rightarrow y=2m+3 \\
& x=\pm \sqrt{m+1} \Rightarrow y=2-{{m}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Do trục hoành chia tam giác $ABC$ thành một tam giác và một hình thang $\Rightarrow 2m+3>0;2-{{m}^{2}}<0$.
Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của trục $Ox$ và 2 cạnh $AB,AC$.
Ta có $\dfrac{{{S}_{AMN}}}{{{S}_{ABC}}}=\dfrac{AM}{AB}.\dfrac{AN}{AC}={{\left( \dfrac{AO}{AI} \right)}^{2}}=\dfrac{4}{9}$, với $I$ là trung điểm của $BC$.
Suy ra : $\dfrac{AO}{AI}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow \dfrac{2m+3}{{{\left( m+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-2m-7=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1\pm \sqrt{15}}{2}$.
Do điều kiện $m>-1$ nên chọn $m=\dfrac{1+\sqrt{15}}{2}$.
Đáp án A.