Google
Câu hỏi: Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương $m$ sao cho có đúng 5 cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thoả mãn $0\le x\le m$ và ${{\log }_{3}}\left( 3x+6 \right)-2y=\dfrac{{{9}^{y}}-x}{2}$.
A. $m={{3}^{10}}-2$.
B. $m={{3}^{5}}-2$.
C. $m={{3}^{15}}-2$.
D. $m={{3}^{20}}-2$.
A. $m={{3}^{10}}-2$.
B. $m={{3}^{5}}-2$.
C. $m={{3}^{15}}-2$.
D. $m={{3}^{20}}-2$.
Ta có: ${{\log }_{3}}\left( 3x+6 \right)-2y=\dfrac{{{9}^{y}}-x}{2}$ $\Leftrightarrow 2\left[ {{\log }_{3}}\left( x+2 \right)+1 \right]-4y={{3}^{2y}}-x$ $\Leftrightarrow x+2+2{{\log }_{3}}\left( x+2 \right)={{9}^{y}}+4y\Leftrightarrow {{3}^{{{\log }_{3}}\left( x+2 \right)}}+2{{\log }_{3}}\left( x+2 \right)={{3}^{2y}}+2.2y$ $\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+2t$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có ${f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3+2>0$ $\forall t\in \mathbb{R}$, suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Từ $\left( 1 \right)$ ta có: $f\left( {{\log }_{3}}\left( x+2 \right) \right)=f\left( 2y \right)$, suy ra ${{\log }_{3}}\left( x+2 \right)=2y$.
Vì $0\le x\le m$ nên ${{\log }_{3}}2\le {{\log }_{3}}\left( x+2 \right)\le {{\log }_{3}}\left( m+2 \right)$ $\Rightarrow {{\log }_{3}}2\le 2y\le {{\log }_{3}}\left( m+2 \right)$.
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}2\le y\le \dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( m+2 \right)$.
Do $y$ nguyên dương nên $1\le y\le \dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( m+2 \right)$.
Để có đúng 5 cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thì $\dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( m+2 \right)=5\Leftrightarrow m={{3}^{10}}-2$
Vậy $m={{3}^{10}}-2$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+2t$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có ${f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3+2>0$ $\forall t\in \mathbb{R}$, suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Từ $\left( 1 \right)$ ta có: $f\left( {{\log }_{3}}\left( x+2 \right) \right)=f\left( 2y \right)$, suy ra ${{\log }_{3}}\left( x+2 \right)=2y$.
Vì $0\le x\le m$ nên ${{\log }_{3}}2\le {{\log }_{3}}\left( x+2 \right)\le {{\log }_{3}}\left( m+2 \right)$ $\Rightarrow {{\log }_{3}}2\le 2y\le {{\log }_{3}}\left( m+2 \right)$.
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}2\le y\le \dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( m+2 \right)$.
Do $y$ nguyên dương nên $1\le y\le \dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( m+2 \right)$.
Để có đúng 5 cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thì $\dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( m+2 \right)=5\Leftrightarrow m={{3}^{10}}-2$
Vậy $m={{3}^{10}}-2$.
Đáp án A.