C biến thiên Tìm điện áp cực đại của dòng xoay chiều lắp vào mạch

__Black_Cat____! đã viết:

Bài toán:
Một cuộn dây không thuần cảm nối tiếp với tụ điện $C$ trong mạch điện xoay chiều không đổi thì dòng điện trong mạch sớm pha hơn điện áp là $\varphi _{1}$ và điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây là $30V$. Nếu thay $C_{1}=3C$ thì dòng điện chậm pha hơn điện áp $\varphi _{2}=\dfrac{\pi}{2}- \varphi _{1}$ và điện áp hai đầu cuộn dây là $90V$ tìm điện áp cực đại của dòng xoay chiều lắp vào mạch:
A $\dfrac{60}{\sqrt{5}}V$
B $ \dfrac{30}{\sqrt{5}}V$
C $\dfrac{30}{\sqrt{2}}V$
D $60V$

Click để xem thêm...

Giải
Dữ kiện $\varphi _{2}=\dfrac{\pi}{2}- \varphi _{1}$ cho ta biết được $$\tan \varphi_1 . tan \varphi_2 = -1 $$
Mặt khác, ta có $$\begin{align}
\dfrac{{{U}_{L{{r}}}}}{{{U}_{Lr_1}}}=\dfrac{30}{90} & =\dfrac{\dfrac{U}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{\dfrac{U}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)}^{2}}}}\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}} \\
& =\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}} \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}} \\
& =\sqrt{\dfrac{1+{{\left( \dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}}}{R} \right)}^{2}}}{1+{{\left( \dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R} \right)}^{2}}}} \\
& =\sqrt{\dfrac{1+{{\left( \tan {{\varphi }_{2}} \right)}^{2}}}{1+{{\left( \tan {{\varphi }_{1}} \right)}^{2}}}} \\
\end{align}$$
Từ đó ta suy ra $${{\left( \tan {{\varphi }_{1}} \right)}^{2}}=8+9{{\left( \tan {{\varphi }_{2}} \right)}^{2}}.$$
Giải hệ, ta tìm được
$$\begin{aligned}
& \bullet \left\{ \begin{aligned}
& \tan {{\varphi }_{1}}=-3 \\
& \tan {{\varphi }_{2}}=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{\tan {{\varphi }_{1}}}{\tan {{\varphi }_{2}}}=\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{{{Z}_{L}}-{{Z}_{{{C}_{1}}}}}=\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{{{Z}_{L}}-\dfrac{{{Z}_{C}}}{3}}=-9\Rightarrow {{Z}_{C}}=2,5{{Z}_{L}} \\
& \bullet \tan {{\varphi }_{1}}=-3=\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}=\dfrac{-1,5{{Z}_{L}}}{R}\Rightarrow \boxed{{{Z}_{L}}=2R} \\
& \bullet \tan {{\varphi }_{2}}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{{{Z}_{L}}-\dfrac{{{Z}_{C}}}{3}}{R}=\dfrac{\dfrac{1}{2,5}{{Z}_{C}}-\dfrac{{{Z}_{C}}}{3}}{R}\Rightarrow \boxed {{{Z}_{C}}=5R }\\
\end{aligned}$$
Từ đó ta có $$U=\dfrac{{{U}_{Lr}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}\sqrt{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}+{{R}^{2}}}=\dfrac{30}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( 2R \right)}^{2}}}}\sqrt{{{\left( 5R-2R \right)}^{2}}+{{R}^{2}}}=30\sqrt{2}$$
Vậy $${{U}_{0}}=30\sqrt{2}.\sqrt{2}=60 \ V.$$
Chọn D.

__Black_Cat____! đã viết:

Bài toán:
Một cuộn dây không thuần cảm nối tiếp với tụ điện $C$ trong mạch điện xoay chiều không đổi thì dòng điện trong mạch sớm pha hơn điện áp là $\varphi _{1}$ và điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây là $30V$. Nếu thay $C_{1}=3C$ thì dòng điện chậm pha hơn điện áp $\varphi _{2}=\dfrac{\pi }{2}- \varphi _{1}$ và điện áp hai đầu cuộn dây là $90V$ tìm điện áp cực đại của dòng xoay chiều lắp vào mạch:
A $\dfrac{60}{\sqrt{5}}V$
B $ \dfrac{30}{\sqrt{5}}V$
C $\dfrac{30}{\sqrt{2}}V$
D $60V$

Click để xem thêm...

Giải
$\begin{cases}
\begin{cases}U_d=I Z_d= I \sqrt{R^2+Z_L^2} \\ U_{d1}=30; U_{d2}=90 \end{cases}\Longrightarrow I_2=3I_1 \\\begin{cases} Z_{C_2}=\dfrac{Z_{C_1}}{3}=\dfrac{Z_{C }}{3}
\\ U_{C_1}=I_1Z_C \\ U_{C_2}=I_2Z_{C_2} = I_1 Z_C = U_{C_1}=U_C\end{cases}
\end{cases}$.
Trên giản đồ là các đoạn OUC; Ud1U1; Ud2U2 biểu điễn $ \vec{U_C}$
U1 = U2 =U điện áp hiệu dung đặt vào mạch. Theo bài ra φ2=900-φ1. Tam giác OU1U2 vuông cân tại O
Theo hình vẽ ta có các điểm UC; U1 và U2 thẳng hàng. Đoạn thẳng UCU1 U2 song song và bằng đoạn OUd1Ud2 : $\bar{U_1U_2}=\bar{U_{d1} U_{d2}}=90V-30V=60 \left(V\right) \\ \Longrightarrow \bar{OU_{1}} =\bar{OU_{2}}=\dfrac{U_1U_2}{\sqrt{2}}\Longrightarrow U=30 \sqrt{2}\Longrightarrow \boxed{U_0=60\left(V\right)}$