Google
Câu hỏi: Tìm điểm M trên (C): $y=\dfrac{x+1}{x-2}$ sao cho tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng
$3x+y-1=0$.
A. $M(3;4),M(1;-2)$
B. $M(3;4)$
C. $M(1;-2)$
D. $M(-1;0)$
$3x+y-1=0$.
A. $M(3;4),M(1;-2)$
B. $M(3;4)$
C. $M(1;-2)$
D. $M(-1;0)$
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\},{y}'=\dfrac{-3}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$
Gỉa sử $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\left( {{x}_{0}}\ne 2 \right)$
Vì tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng $3x+y-1=0$ nên ta có
${y}'\left( {{x}_{0}} \right)=-3\Leftrightarrow \dfrac{-3}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}=-3\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=3 \\
& {{x}_{0}}=1 \\
\end{aligned} \right.$
Trường hợp 1: Với ${{x}_{0}}=3\Rightarrow {{y}_{0}}=4$. Khi đó phương trình tiếp tuyến là
$y=-3\left( x-3 \right)+4\Leftrightarrow y=-3x+13$ (thỏa mãn yêu cầu bài toán)
Trường hợp 2: Với ${{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=-2$. Khi đó phương trình tiếp tuyến là
$y=-3\left( x-1 \right)-2\Leftrightarrow y=-3x+1$ (loại, do trùng với đường thẳng $3x+y-1=0$ )
Gỉa sử $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\left( {{x}_{0}}\ne 2 \right)$
Vì tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng $3x+y-1=0$ nên ta có
${y}'\left( {{x}_{0}} \right)=-3\Leftrightarrow \dfrac{-3}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}=-3\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=3 \\
& {{x}_{0}}=1 \\
\end{aligned} \right.$
Trường hợp 1: Với ${{x}_{0}}=3\Rightarrow {{y}_{0}}=4$. Khi đó phương trình tiếp tuyến là
$y=-3\left( x-3 \right)+4\Leftrightarrow y=-3x+13$ (thỏa mãn yêu cầu bài toán)
Trường hợp 2: Với ${{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=-2$. Khi đó phương trình tiếp tuyến là
$y=-3\left( x-1 \right)-2\Leftrightarrow y=-3x+1$ (loại, do trùng với đường thẳng $3x+y-1=0$ )
Đáp án B.