Tích tất cả các số thực m để hàm số $y=\left|...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Tích tất cả các số thực m để hàm số

y = | \frac{4}{3} x^{3} - 6 x^{2} + 8 x + m |

có giá trị nhỏ nhất trên đoạn

[0; 3]

bằng 18 là
A. 432
B.

- 216

C.

- 432

D. 288

Xét hàm số

f (x) = \frac{4}{3} x^{3} - 6 x^{2} + 8 x + m

liên tục trên đoạn

[0; 3]

.
Ta có

f^{'} (x) = 4 x^{2} - 12 x + 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 1 \in [0; 3] \\ x = 2 \in [0; 3] \end{aligned}

.
Ta lại có:

f (0) = m; f (1) = \frac{10}{3} + m; f (2) = \frac{8}{3} + m; f (3) = 6 + m

.
Khi đó:

{\begin{aligned} max_{[0; 3]} f (x) = max {f (0); f (1); f (2); f (3)} = f (3) = m + 6 \\ min_{[0; 3]} f (x) = min {f (0); f (1); f (2); f (3)} = f (0) = m \end{aligned}

.
Theo đề bài:

min_{[0; 3]} y = 18

nên ta có:

{\begin{aligned} m (m + 6) > 0 \\ \frac{| m + 6 + m | - | m + 6 - m |}{2} = 18 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} m = - 24 \\ m = 18 \end{aligned}

.
Kết luận: Tích các số thực m thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

- 24.18 = - 432

.

Tìm tham số để

min_{[α; β]} | f (x) | = a

(với

a > 0

).
Phương pháp:
Tìm

{\begin{aligned} min_{[α; β]} f (x) = m \\ max_{[α; β]} f (x) = M \end{aligned} (M > m)

.
Suy ra:

min_{[α; β]} | f (x) | = \frac{| M + m | - | M - m |}{2}

(khi

m . M > 0

) hoặc

min_{[α; β]} | f (x) | = 0

(khi

m . M \leq 0

).
Theo đề bài:

min_{[α; β]} | f (x) | = a

(với

a > 0

), nên ta có

\frac{| M + m | - | M - m |}{2} = a

.

Đáp án C.