Google
Câu hỏi: Tích tất cả các số thực m để hàm số $y=\left| \dfrac{4}{3}{{x}^{3}}-6{{\text{x}}^{2}}+8\text{x}+m \right|$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ bằng 18 là
A. 432
B. $-216$
C. $-432$
D. 288
A. 432
B. $-216$
C. $-432$
D. 288
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{4}{3}{{x}^{3}}-6{{\text{x}}^{2}}+8\text{x}+m$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=4{{\text{x}}^{2}}-12\text{x}+8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\in \left[ 0;3 \right] \\
& x=2\in \left[ 0;3 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Ta lại có: $f\left( 0 \right)=m;\text{ f}\left( 1 \right)=\dfrac{10}{3}+m;\text{ f}\left( 2 \right)=\dfrac{8}{3}+m;\text{ f}\left( 3 \right)=6+m$.
Khi đó: $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( 0 \right);f\left( 1 \right);f\left( 2 \right);f\left( 3 \right) \right\}=f\left( 3 \right)=m+6 \\
& \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( 0 \right);f\left( 1 \right);f\left( 2 \right);f\left( 3 \right) \right\}=f\left( 0 \right)=m \\
\end{aligned} \right.$.
Theo đề bài: $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} y=18$ nên ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& m\left( m+6 \right)>0 \\
& \dfrac{\left| m+6+m \right|-\left| m+6-m \right|}{2}=18 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-24 \\
& m=18 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết luận: Tích các số thực m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $-24.18=-432$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=4{{\text{x}}^{2}}-12\text{x}+8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\in \left[ 0;3 \right] \\
& x=2\in \left[ 0;3 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Ta lại có: $f\left( 0 \right)=m;\text{ f}\left( 1 \right)=\dfrac{10}{3}+m;\text{ f}\left( 2 \right)=\dfrac{8}{3}+m;\text{ f}\left( 3 \right)=6+m$.
Khi đó: $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( 0 \right);f\left( 1 \right);f\left( 2 \right);f\left( 3 \right) \right\}=f\left( 3 \right)=m+6 \\
& \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( 0 \right);f\left( 1 \right);f\left( 2 \right);f\left( 3 \right) \right\}=f\left( 0 \right)=m \\
\end{aligned} \right.$.
Theo đề bài: $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} y=18$ nên ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& m\left( m+6 \right)>0 \\
& \dfrac{\left| m+6+m \right|-\left| m+6-m \right|}{2}=18 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-24 \\
& m=18 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết luận: Tích các số thực m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $-24.18=-432$.
| Tìm tham số để $\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=a$ (với $a>0$ ). Phương pháp: Tìm $\left\{ \begin{aligned} & \underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=m \\ & \underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=M \\ \end{aligned} \right.\left( M>m \right)$. Suy ra: $\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=\dfrac{\left| M+m \right|-\left| M-m \right|}{2}$ (khi $m.M>0$ ) hoặc $\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=0$ (khi $m.M\le 0$ ). Theo đề bài: $\underset{\left[ \alpha ;\beta \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=a$ (với $a>0$ ), nên ta có $\dfrac{\left| M+m \right|-\left| M-m \right|}{2}=a$. |
Đáp án C.