Tích các nghiệm thực của phương trình $\log...

Đặt $\sqrt{3-{{\log }_{2}}x}=t$ $\left( t\ge 0 \right)$ đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại II.
Trừ vế với vế các phương trình đưa về dạng tích và giải hệ.
ĐK: $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& 3-{{\log }_{2}}x\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 0<x\le 8$
Đặt $\sqrt{3-{{\log }_{2}}x}=t$ $\left( t\ge 0 \right)\Rightarrow {{t}^{2}}=3-{{\log }_{2}}x\Leftrightarrow {{t}^{2}}+{{\log }_{2}}x=3$ (1)
Thay $\sqrt{3-{{\log }_{2}}x}=t$ vào phương trình đã cho ta được $\log _{2}^{2}x+t=3$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ${{t}^{2}}-{{\log }_{2}}x-\log _{2}^{2}x-t=0\Leftrightarrow \left( t-{{\log }_{2}}x \right)\left( t+{{\log }_{2}}x \right)-\left( t-{{\log }_{2}}x \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( t-{{\log }_{2}}x \right)\left( t+{{\log }_{2}}x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t={{\log }_{2}}x \\
& t=1-{{\log }_{2}}x \\
\end{aligned} \right.$
Với $t={{\log }_{2}}x\Leftrightarrow \sqrt{3-{{\log }_{2}}x}={{\log }_{2}}x\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}x\ge 0 \\
& \log _{2}^{2}x+{{\log }_{2}}x-3=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{\log }_{2}}x=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\Rightarrow x={{2}^{\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}}}\left( TM \right)$
Với $t=1-{{\log }_{2}}x\Leftrightarrow \sqrt{3-{{\log }_{2}}x}=1-{{\log }_{2}}x\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}x\le 1 \\
& \log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}x-2=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}x\ge -1 \\
& \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}x=2\left( ktm \right) \\
& {{\log }_{2}}x=-1\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x={{2}^{-1}}\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ${{2}^{\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}}}$ ; $x={{2}^{-1}}$ nên tích các nghiệm là
${{2}^{\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}}}{{.2}^{-1}}={{2}^{\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}-1}}={{2}^{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}}}$