Google
Câu hỏi: Tất cả giá trị của tham số $m$ sao cho bất phương trình $\log _{3}^{2}3x-2\left( m+1 \right){{\log }_{3}}x-2<0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( \sqrt{3};+\infty \right)$.
A. $m\in \left( -\dfrac{3}{4};+\infty \right)$.
B. $m\in \left( -\infty ;-\dfrac{3}{4} \right]$.
C. $m\in \left[ -\dfrac{3}{4};+\infty \right)$.
D. $m\in \left( -\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2} \right)$.
BPT $\Leftrightarrow {{\left( 1+{{\log }_{3}}x \right)}^{2}}-2\left( m+1 \right){{\log }_{3}}x-2<0$ $\Leftrightarrow \log _{3}^{2}x-2m{{\log }_{3}}x-1<0$.
Đặt $t={{\log }_{3}}x$, với $x\in \left( \sqrt{3};+\infty \right)\Rightarrow t\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm $m$ để bất phương trình ${{t}^{2}}-2mt-1<0$ có nghiệm $t\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{t}^{2}}-1}{2t}<m$ có nghiệm $t\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
Xét hàm $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-1}{2t}$, ${f}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+1}{2{{t}^{2}}}>0\ \forall t\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, bất phương trình $f\left( t \right)<m$ có nghiệm $t\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$ $\Leftrightarrow m>-\dfrac{3}{4}$.
Vậy $m\in \left( -\dfrac{3}{4};+\infty \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
A. $m\in \left( -\dfrac{3}{4};+\infty \right)$.
B. $m\in \left( -\infty ;-\dfrac{3}{4} \right]$.
C. $m\in \left[ -\dfrac{3}{4};+\infty \right)$.
D. $m\in \left( -\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2} \right)$.
BPT $\Leftrightarrow {{\left( 1+{{\log }_{3}}x \right)}^{2}}-2\left( m+1 \right){{\log }_{3}}x-2<0$ $\Leftrightarrow \log _{3}^{2}x-2m{{\log }_{3}}x-1<0$.
Đặt $t={{\log }_{3}}x$, với $x\in \left( \sqrt{3};+\infty \right)\Rightarrow t\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm $m$ để bất phương trình ${{t}^{2}}-2mt-1<0$ có nghiệm $t\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{t}^{2}}-1}{2t}<m$ có nghiệm $t\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
Xét hàm $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-1}{2t}$, ${f}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+1}{2{{t}^{2}}}>0\ \forall t\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
Bảng biến thiên:
Vậy $m\in \left( -\dfrac{3}{4};+\infty \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.