Google
Câu hỏi: Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}$ trên khoảng $\left( 0;\pi \right)$ là:
A. $-x\cot x+\ln \left( \sin x \right)+C$
B. $x\cot x-\ln \left| \sin x \right|+C$
C. $x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C$
D. $-x\cot x-\ln \left( \sin x \right)+C$
A. $-x\cot x+\ln \left( \sin x \right)+C$
B. $x\cot x-\ln \left| \sin x \right|+C$
C. $x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C$
D. $-x\cot x-\ln \left( \sin x \right)+C$
Sử dụng nguyên hàm cơ bản và phương pháp nguyên hàm từng phần để làm bài toán hoặc đạo hàm các hàm số ở từng đáp án, đáp án nào có đạo hàm ra hàm số bài cho là đáp án đúng.
Ta có $I=\int{\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}}dx$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=-\cot x \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow I=-x\cot x+\int{\cot xd}x=-x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C$
Vì $x\in \left( 0;\pi \right)\Rightarrow \sin x>0\Rightarrow I=-x\cot x+\ln \left( \sin x \right)+C$
Ta có $I=\int{\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}}dx$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=-\cot x \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow I=-x\cot x+\int{\cot xd}x=-x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C$
Vì $x\in \left( 0;\pi \right)\Rightarrow \sin x>0\Rightarrow I=-x\cot x+\ln \left( \sin x \right)+C$
Đáp án A.