Google
Câu hỏi: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 là
A. $0<m<\sqrt[3]{4}.$
B. $m<1.$
C. $0<m<1.$
D. $m>0.$
Tập xác định $D=\mathbb{R}$. Ta có ${y}'=4{{x}^{3}}-4mx$
${y}'=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=m \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $m>0$. Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là $O\left( 0;0 \right),A\left( \sqrt{m};-{{m}^{2}} \right),B\left( -\sqrt{m};-{{m}^{2}} \right).$
Do đó ${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}OH.AB=\dfrac{1}{2}{{m}^{2}}.2\sqrt{m}={{m}^{2}}\sqrt{m}<1\Leftrightarrow 0<m<1.$
Cách khác.
Sử dụng công thức: Đồ thị hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích S thoả mãn ${{S}^{2}}=-\dfrac{{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}}.$
A. $0<m<\sqrt[3]{4}.$
B. $m<1.$
C. $0<m<1.$
D. $m>0.$
Tập xác định $D=\mathbb{R}$. Ta có ${y}'=4{{x}^{3}}-4mx$
${y}'=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=m \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $m>0$. Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là $O\left( 0;0 \right),A\left( \sqrt{m};-{{m}^{2}} \right),B\left( -\sqrt{m};-{{m}^{2}} \right).$
Do đó ${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}OH.AB=\dfrac{1}{2}{{m}^{2}}.2\sqrt{m}={{m}^{2}}\sqrt{m}<1\Leftrightarrow 0<m<1.$
Cách khác.
Sử dụng công thức: Đồ thị hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích S thoả mãn ${{S}^{2}}=-\dfrac{{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}}.$
Đáp án C.