Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình...

Ta có ${{4}^{x}}+{{2}^{x}}+4={{3}^{m}}\left( {{2}^{x}}+1 \right)\Leftrightarrow {{4}^{x}}+\left( 1-{{3}^{m}} \right){{2}^{x}}+4-{{3}^{m}}=0$. Đặt $t={{2}^{x}}>0,n={{3}^{m}}>0$ ta tìm $n>0$ để phương trình ${{t}^{2}}+\left( 1-n \right)t+4-n=0$ có hai nghiệm dương phân biệt. Do đó
$\left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& S>0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( 1-n \right)}^{2}}-4\left( 4-n \right)>0 \\
& n-1>0 \\
& 4-n>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{n}^{2}}+2n-15>0 \\
& n>1 \\
& n<4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& n<-5 \\
& n>3 \\
\end{aligned} \right. \\
& 1<n<4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 3<n<4$.
Vậy $3<{{3}^{m}}<4\Leftrightarrow 1<m<{{\log }_{3}}4$.