Tất cả các cặp số $\left( x;y \right)$, sao cho $x,y\in...

Do $\left\{ \begin{matrix}
\left( y+1 \right){{\log }_{2}}\sqrt{x}\ge 0 \\
{{\log }_{3}}\left( 1+\sqrt{x}+\sqrt[3]{x} \right)>0 \\
\end{matrix} \right.,\forall x,y\in {{\mathbb{N}}^{*}}$
Nên để bất phương trình có nghiệm khi $3y-2{{y}^{2}}+2>0$ $\Rightarrow y=1$.
Với $y=1$, bất phương trình tương đương $3{{\log }_{3}}\left( 1+\sqrt{x}+\sqrt[3]{x} \right)-{{\log }_{2}}x>0$.
Đặt $t={{\log }_{2}}{{x}^{{}}}\left( t\ge 0 \right)\Leftrightarrow x={{2}^{t}}$, bất phương trình tương đương:
$1+{{2}^{\dfrac{t}{2}}}+{{2}^{\dfrac{t}{3}}}>{{3}^{\dfrac{t}{3}}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{\dfrac{t}{3}}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{3}} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{\dfrac{t}{3}}}-1>0$
Đặt $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{\dfrac{t}{3}}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{3}} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{\dfrac{t}{3}}}-1$. Do $f\left( t \right)$ là hàm nghịch biến và $f\left( 12 \right)=0$
Nên ${{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{\dfrac{t}{3}}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{3}} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{\dfrac{t}{3}}}-1>0\Leftrightarrow 0\le t<12\Leftrightarrow 1\le x<4096$.
Vậy có $4095$ cặp $\left( x;y \right)$ thỏa mãn.