Google
Câu hỏi: Tập hợp tất cả các số thực $m$ để phương trình ${{\log }_{2}}x=m$ có nghiệm là
A. $\mathbb{R}$.
B. $\left[ 0 ; +\infty \right)$.
C. $\left( -\infty ; 0 \right)$.
D. $\left( 0 ; +\infty \right)$.
A. $\mathbb{R}$.
B. $\left[ 0 ; +\infty \right)$.
C. $\left( -\infty ; 0 \right)$.
D. $\left( 0 ; +\infty \right)$.
Ta có: Phương trình ${{\log }_{2}}x=m$ (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường, đường cong $\left( C \right):y={{\log }_{2}}x$ và đường thẳng $d:y=m$ nên số giao điểm của chúng chính là số nghiệm của phương trình (*).
Ta có: ${y}'={{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{\prime }}=\dfrac{1}{x.\ln 2}>0 , \forall x\in \left( 0 ; +\infty \right)$ $\Rightarrow $ Hàm số $y={{\log }_{2}}x$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y={{\log }_{2}}x$, ta thấy đường cong $\left( C \right):y={{\log }_{2}}x$ và đường thẳng $d:y=m$ luôn cắt nhau $\forall m\in \mathbb{R}$.
Vậy tập nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}x=m$ là $\mathbb{R}$.
Ta có: ${y}'={{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{\prime }}=\dfrac{1}{x.\ln 2}>0 , \forall x\in \left( 0 ; +\infty \right)$ $\Rightarrow $ Hàm số $y={{\log }_{2}}x$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y={{\log }_{2}}x$, ta thấy đường cong $\left( C \right):y={{\log }_{2}}x$ và đường thẳng $d:y=m$ luôn cắt nhau $\forall m\in \mathbb{R}$.
Vậy tập nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}x=m$ là $\mathbb{R}$.
Đáp án A.