Google
Câu hỏi: Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình ${{2}^{x}}+3=m\sqrt{{{4}^{x}}+1}$ có hai nghiệm thực phân biệt là $(a;\sqrt{b})$. Tính $S=2\text{a}+3b$.
A. $S=29$
B. $S=28$
C. $S=32$
D. $S=36$
A. $S=29$
B. $S=28$
C. $S=32$
D. $S=36$
Đặt $t={{2}^{x}}>0$ ta được $t+3=m\sqrt{{{t}^{2}}+1}\Rightarrow m=\dfrac{t+3}{\sqrt{{{t}^{2}}+1}}=f(t)$ với $t>0$
Khi đó ${f}'(t)=\dfrac{\sqrt{{{t}^{2}}+1}-\dfrac{(t+3)t}{\sqrt{{{t}^{2}}+1}}}{{{t}^{2}}+1}=\dfrac{1-3t}{\sqrt{{{({{t}^{2}}+1)}^{3}}}}$ suy ra bảng biến thiên:
Dựa vào BBT suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi $m\in \left( 3;\sqrt{10} \right)$.
Do đó $a=3,b=10\Rightarrow S=36$.
Khi đó ${f}'(t)=\dfrac{\sqrt{{{t}^{2}}+1}-\dfrac{(t+3)t}{\sqrt{{{t}^{2}}+1}}}{{{t}^{2}}+1}=\dfrac{1-3t}{\sqrt{{{({{t}^{2}}+1)}^{3}}}}$ suy ra bảng biến thiên:
Do đó $a=3,b=10\Rightarrow S=36$.
Đáp án D.