Google
Câu hỏi: Tập giá trị của $x$ thỏa mãn $\dfrac{{{2.9}^{x}}-{{3.6}^{x}}}{{{6}^{x}}-{{4}^{x}}}\le 2 \left( x\in \mathbb{R} \right)$ là $\left( -\infty ;a \right]\cup \left( b;c \right].$ Khi đó $\left( a+b+c \right)!$ bằng
A. $2$
B. $0$
C. $1$
D. $6$
A. $2$
B. $0$
C. $1$
D. $6$
Điều kiện: ${{6}^{x}}-{{4}^{x}}\ne 0\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}}\ne 1\Leftrightarrow x\ne 0.$
Khi đó $\dfrac{{{2.9}^{x}}-{{3.6}^{x}}}{{{6}^{x}}-{{4}^{x}}}\le 2\Leftrightarrow \dfrac{2.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2x}}-3.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}}}{{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}}-1}\le 2$
Đặt $t={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}},t>0$ ta được bất phương trình $\dfrac{2{{t}^{2}}-3t}{t-1}\le 2\Leftrightarrow \dfrac{2{{t}^{2}}-5t+2}{t-1}\le 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t<\dfrac{1}{2} \\
& t>2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}}\le \dfrac{1}{2} \\
& 1<{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}}\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\le {{\log }_{\dfrac{3}{2}}}\dfrac{1}{2} \\
& 0<x\le {{\log }_{\dfrac{3}{2}}}2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $\left( -\infty ;{{\log }_{\dfrac{3}{2}}}\dfrac{1}{2} \right]\cup \left( 0;{{\log }_{\dfrac{3}{2}}}2 \right]$
Suy ra $a+b+c={{\log }_{\dfrac{3}{2}}}\dfrac{1}{2}+{{\log }_{\dfrac{3}{2}}}2=0.$
Vậy $\left( a+b+c \right)!=1$
Khi đó $\dfrac{{{2.9}^{x}}-{{3.6}^{x}}}{{{6}^{x}}-{{4}^{x}}}\le 2\Leftrightarrow \dfrac{2.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2x}}-3.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}}}{{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}}-1}\le 2$
Đặt $t={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}},t>0$ ta được bất phương trình $\dfrac{2{{t}^{2}}-3t}{t-1}\le 2\Leftrightarrow \dfrac{2{{t}^{2}}-5t+2}{t-1}\le 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t<\dfrac{1}{2} \\
& t>2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}}\le \dfrac{1}{2} \\
& 1<{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}}\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\le {{\log }_{\dfrac{3}{2}}}\dfrac{1}{2} \\
& 0<x\le {{\log }_{\dfrac{3}{2}}}2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $\left( -\infty ;{{\log }_{\dfrac{3}{2}}}\dfrac{1}{2} \right]\cup \left( 0;{{\log }_{\dfrac{3}{2}}}2 \right]$
Suy ra $a+b+c={{\log }_{\dfrac{3}{2}}}\dfrac{1}{2}+{{\log }_{\dfrac{3}{2}}}2=0.$
Vậy $\left( a+b+c \right)!=1$
Đáp án C.