Ta xác định được các số $a, b , c$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ đi qua điểm $\left(1; 0 \right)$ và có điểm cực trị $\left(-2; 0...

Ta có $y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c\Rightarrow {y}'=3{{x}^{2}}+2ax+b$.
Theo đề, ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& y\left( 1 \right)=0 \\
& y\left( -2 \right)=0 \\
& {y}'\left( -2 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0={{1}^{3}}+a{{.1}^{2}}+b.1+c \\
& 0={{\left( -2 \right)}^{3}}+a.{{\left( -2 \right)}^{2}}+b.\left( -2 \right)+c \\
& 0=3.{{\left( -2 \right)}^{2}}+2a.\left( -2 \right)+b \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+b+c=-1 \\
& 4a-2b+c=8 \\
& -4a+b=-12 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=0 \\
& c=-4 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{3}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}=25.$