Google
Câu hỏi: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x+16}-4}{{{x}^{2}}+x}$ là
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
Tập xác định hàm số là $D=\left( -16;+\infty \right)\backslash \left\{ -1;0 \right\}$
Ta có: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x+16}-4}{\left( x+1 \right)x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{x}{x\left( x+1 \right)\left( \sqrt{x+16}-4 \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\left( x+1 \right)\left( \sqrt{x+16}-4 \right)}=\dfrac{1}{8}$
$\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x+16}-4}{\left( x+1 \right)x}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\left( x+1 \right)\left( \sqrt{x+16}-4 \right)}=+\infty $
Vì $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( \sqrt{x+16}+4 \right)=\sqrt{15}+4>0, \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( x+1 \right)=0$ và $x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}$ thì $x>-1\Rightarrow x+1>0$
Tương tự: $\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\left( x+1 \right)\left( \sqrt{x+16}-4 \right)}=-\infty $
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là $x=-1$
Ta có: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x+16}-4}{\left( x+1 \right)x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{x}{x\left( x+1 \right)\left( \sqrt{x+16}-4 \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\left( x+1 \right)\left( \sqrt{x+16}-4 \right)}=\dfrac{1}{8}$
$\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x+16}-4}{\left( x+1 \right)x}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\left( x+1 \right)\left( \sqrt{x+16}-4 \right)}=+\infty $
Vì $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( \sqrt{x+16}+4 \right)=\sqrt{15}+4>0, \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( x+1 \right)=0$ và $x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}$ thì $x>-1\Rightarrow x+1>0$
Tương tự: $\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\left( x+1 \right)\left( \sqrt{x+16}-4 \right)}=-\infty $
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là $x=-1$
Đáp án D.