Số thực dương $a$ thỏa mãn diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai...

The Professor · 29/12/21

Câu hỏi: Số thực dương

a

thỏa mãn diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm

y = \frac{x^{2} + 2 a x + 3 a^{2}}{1 + a^{6}}

và

y = \frac{a^{2} - a x}{1 + a^{6}}

đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tỉ số diện tích hình phẳng được giới hạn bởi mỗi đồ thị trên với trục hoành,

x = 0, x = 1

là
A.

\frac{15}{3}

.
B.

\frac{26}{3}

.
C.

\frac{32}{3}

.
D.

\frac{10}{3}

.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

\frac{x^{2} + 2 a x + 3 a^{2}}{1 + a^{6}} = \frac{a^{2} - a x}{1 + a^{6}} \Leftrightarrow x^{2} + 3 a x + 2 a^{2} = 0 \Leftrightarrow (x + a) (x + 2 a) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - a \\ x = - 2 a \end{matrix}

Nếu

a = 0

thì diện tích hình phẳng

S = 0

.
+ Nếu

a > 0

thì

S = \int_{- 2 a}^{- a} | \frac{x^{2} + 3 a x + 2 a^{2}}{1 + a^{6}} | d x = - \int_{- 2 a}^{- a} \frac{x^{2} + 3 a x + 2 a^{2}}{1 + a^{6}} d x = \frac{1}{6} . \frac{a^{3}}{1 + a^{6}}

.
+ Nếu

a < 0

thì

S = \int_{- a}^{- 2 a} | \frac{x^{2} + 3 a x + 2 a^{2}}{1 + a^{6}} | d x = - \int_{- a}^{- 2 a} \frac{x^{2} + 3 a x + 2 a^{2}}{1 + a^{6}} d x = - \frac{1}{6} . \frac{a^{3}}{1 + a^{6}}

.
Do đó, với

a \neq 0

thì

S = \frac{1}{6} . \frac{{| a |}^{3}}{1 + {| a |}^{6}} \leq \frac{1}{6} . \frac{{| a |}^{3}}{2 {| a |}^{3}} = \frac{1}{12}

.
Dấu

^{″} =^{″}

xảy ra khi và chỉ khi

{| a |}^{3} = 1 \Leftrightarrow a = \pm 1

. Vì

a > 0

nên

a = 1

.
Khi đó

S_{1} = \int_{0}^{1} \frac{x^{2} + 2 x + 3}{2} d x = \frac{13}{6},

S_{2} = \int_{0}^{1} \frac{1 - x}{2} d x = \frac{1}{4}

Suy ra

\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{26}{3}

.

Đáp án B.

Số thực dương a thỏa mãn diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai...