Số thực dương $a$ thỏa mãn diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai...

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:
$\dfrac{{{x}^{2}}+2ax+3{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}=\dfrac{{{a}^{2}}-ax}{1+{{a}^{6}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}=0\Leftrightarrow \left( x+a \right)\left( x+2a \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=-a \\
x=-2a \\
\end{matrix} \right.$
Nếu $a=0$ thì diện tích hình phẳng $S=0$.
+ Nếu $a>0$ thì $S=\int\limits_{-2a}^{-a}{\left| \dfrac{{{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}} \right|\text{d}x=}-\int\limits_{-2a}^{-a}{\dfrac{{{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}\text{d}x=}\dfrac{1}{6}.\dfrac{{{a}^{3}}}{1+{{a}^{6}}}$.
+ Nếu $a<0$ thì $S=\int\limits_{-a}^{-2a}{\left| \dfrac{{{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}} \right|\text{d}x=}-\int\limits_{-a}^{-2a}{\dfrac{{{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}\text{d}x=}-\dfrac{1}{6}.\dfrac{{{a}^{3}}}{1+{{a}^{6}}}$.
Do đó, với $a\ne 0$ thì $S=\dfrac{1}{6}.\dfrac{{{\left| a \right|}^{3}}}{1+{{\left| a \right|}^{6}}}\le \dfrac{1}{6}.\dfrac{{{\left| a \right|}^{3}}}{2{{\left| a \right|}^{3}}}=\dfrac{1}{12}$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi ${{\left| a \right|}^{3}}=1\Leftrightarrow a=\pm 1$. Vì $a>0$ nên $a=1$.
Khi đó ${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{x}^{2}}+2x+3}{2}\text{d}x}=\dfrac{13}{6} ,$ ${{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{1-x}{2}\text{d}x}=\dfrac{1}{4}$
Suy ra $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{26}{3}$.