Google
Câu hỏi: Số nguyên dương a lớn nhất thỏa mãn điều kiện $3{{\log }_{3}}(1+\sqrt{a}+\sqrt[3]{a})>2{{\log }_{2}}\sqrt{a}$ là?
A. 2016.
B. 2095
C. 3096.
D. 4095.
A. 2016.
B. 2095
C. 3096.
D. 4095.
Giả sử a thỏa mãn : $3{{\log }_{3}}(1+\sqrt{a}+\sqrt[3]{a})>2{{\log }_{2}}\sqrt{a}$.
Đặt ${{\log }_{2}}\sqrt{a}=3\text{x}\Leftrightarrow a={{64}^{x}}$. Ta được bất phương trình: $3{{\log }_{3}}(1+{{8}^{x}}+{{4}^{x}})>6\text{x}$
$3{{\log }_{3}}(1+{{8}^{x}}+{{4}^{x}})>6\text{x}\Leftrightarrow \text{1}+{{8}^{x}}+{{4}^{x}}>{{9}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{4}{9} \right)}^{x}}>1$
Do hàm số $f(x)={{\left( \dfrac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{4}{9} \right)}^{x}}$ nghịch biến trên R và lại có $f(2)=1$ nên
BPT trở thành $f(x)>f(2)\Leftrightarrow x<2$.
Suy ra $a<{{64}^{2}}=4096$ nên số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn là $a=4095$
Đặt ${{\log }_{2}}\sqrt{a}=3\text{x}\Leftrightarrow a={{64}^{x}}$. Ta được bất phương trình: $3{{\log }_{3}}(1+{{8}^{x}}+{{4}^{x}})>6\text{x}$
$3{{\log }_{3}}(1+{{8}^{x}}+{{4}^{x}})>6\text{x}\Leftrightarrow \text{1}+{{8}^{x}}+{{4}^{x}}>{{9}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{4}{9} \right)}^{x}}>1$
Do hàm số $f(x)={{\left( \dfrac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{4}{9} \right)}^{x}}$ nghịch biến trên R và lại có $f(2)=1$ nên
BPT trở thành $f(x)>f(2)\Leftrightarrow x<2$.
Suy ra $a<{{64}^{2}}=4096$ nên số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn là $a=4095$
Đáp án D.