Google
Câu hỏi: Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\ln \left( x\sqrt{{{x}^{2}}+16}-{{x}^{2}} \right)\le \sqrt{{{x}^{2}}+16}-15x$.
A. $2$.
B. $0$.
C. $3$.
D. $1$.
A. $2$.
B. $0$.
C. $3$.
D. $1$.
Điều kiện $x\sqrt{{{x}^{2}}+16}-{{x}^{2}}>0\Leftrightarrow x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+16}-x \right)>0\Leftrightarrow x>0$.
Ta có: $\ln \left[ x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+16}-x \right) \right]=\ln \dfrac{16x}{\sqrt{{{x}^{2}}+16}+x}=\ln \left( 16x \right)-\ln \left( \sqrt{{{x}^{2}}+16}+x \right)$
Bất phương trình tương đương
$\ln \left( 16x \right)-\ln \left( \sqrt{{{x}^{2}}+16}+x \right)\le \sqrt{{{x}^{2}}+16}+x-16x$
$\Leftrightarrow \ln \left( 16x \right)+16x\le \ln \left( \sqrt{{{x}^{2}}+16}+x \right)+\sqrt{{{x}^{2}}+16}+x$ (*)
Xét hàm số $f\left( t \right)=\ln t+t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t}+1>0$ trên $\left( 0;+\infty \right)$. Suy ra hàm số $f\left( t \right)=\ln t+t$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Từ (*) suy ra
$16x\le \sqrt{{{x}^{2}}+16}+x\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+16}\ge 15x\Leftrightarrow {{x}^{2}}+16\ge 225{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le \dfrac{1}{14}\Leftrightarrow -\dfrac{1}{\sqrt{14}}\le x\le \dfrac{1}{\sqrt{14}}$.
So với điều kiện ta được $0<x\le \dfrac{1}{\sqrt{14}}$.
Mà $x\in \mathbb{Z}$ nên suy ra không có giá trị nguyên nào của $x$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Ta có: $\ln \left[ x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+16}-x \right) \right]=\ln \dfrac{16x}{\sqrt{{{x}^{2}}+16}+x}=\ln \left( 16x \right)-\ln \left( \sqrt{{{x}^{2}}+16}+x \right)$
Bất phương trình tương đương
$\ln \left( 16x \right)-\ln \left( \sqrt{{{x}^{2}}+16}+x \right)\le \sqrt{{{x}^{2}}+16}+x-16x$
$\Leftrightarrow \ln \left( 16x \right)+16x\le \ln \left( \sqrt{{{x}^{2}}+16}+x \right)+\sqrt{{{x}^{2}}+16}+x$ (*)
Xét hàm số $f\left( t \right)=\ln t+t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t}+1>0$ trên $\left( 0;+\infty \right)$. Suy ra hàm số $f\left( t \right)=\ln t+t$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Từ (*) suy ra
$16x\le \sqrt{{{x}^{2}}+16}+x\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+16}\ge 15x\Leftrightarrow {{x}^{2}}+16\ge 225{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le \dfrac{1}{14}\Leftrightarrow -\dfrac{1}{\sqrt{14}}\le x\le \dfrac{1}{\sqrt{14}}$.
So với điều kiện ta được $0<x\le \dfrac{1}{\sqrt{14}}$.
Mà $x\in \mathbb{Z}$ nên suy ra không có giá trị nguyên nào của $x$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.