Google
Câu hỏi: Số hạng không chứa x trong khai triển ${{\left( 2x-\dfrac{3}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{2n}}$ với $x\ne 0$, biết n là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{3}+2n=A_{n+1}^{2}$ là:
A. $-C_{16}^{12}{{.2}^{4}}{{.3}^{12}}.$
B. $C_{16}^{0}{{.2}^{16}}.$
C. $C_{16}^{12}{{.2}^{4}}{{.3}^{12}}.$
D. $C_{16}^{16}{{.2}^{0}}.$
A. $-C_{16}^{12}{{.2}^{4}}{{.3}^{12}}.$
B. $C_{16}^{0}{{.2}^{16}}.$
C. $C_{16}^{12}{{.2}^{4}}{{.3}^{12}}.$
D. $C_{16}^{16}{{.2}^{0}}.$
Với điều kiện $n\ge 3,n\in \mathbb{N},$ ta có
$C_{n}^{3}+2n=A_{n+1}^{2}\Leftrightarrow \dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{3!}+2n=\left( n+1 \right)n\Leftrightarrow \left( n-1 \right)\left( n-2 \right)+12=6\left( n+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{n}^{2}}-9n+8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
n=1(\text{loai)} \\
n=8(\text{thoa)} \\
\end{matrix}. \right.$
Với $n=8,$ ta có số hạng thứ k+1 trong khai triển ${{\left( 2x-\dfrac{3}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{16}}$ là
$C_{16}^{k}{{\left( 2x \right)}^{16-k}}{{\left( -\dfrac{3}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{k}}=C_{16}^{k}{{2}^{16-k}}{{\left( -3 \right)}^{k}}{{x}^{16-\dfrac{4}{3}k}}.$
Theo đề bài ta cần tìm k sao cho $16-\dfrac{4}{3}k=0\Leftrightarrow k=12.$
Do đó số hạng không chứa x trong khai triển là $C_{16}^{12}{{.2}^{4}}{{.3}^{12}}.$
$C_{n}^{3}+2n=A_{n+1}^{2}\Leftrightarrow \dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{3!}+2n=\left( n+1 \right)n\Leftrightarrow \left( n-1 \right)\left( n-2 \right)+12=6\left( n+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{n}^{2}}-9n+8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
n=1(\text{loai)} \\
n=8(\text{thoa)} \\
\end{matrix}. \right.$
Với $n=8,$ ta có số hạng thứ k+1 trong khai triển ${{\left( 2x-\dfrac{3}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{16}}$ là
$C_{16}^{k}{{\left( 2x \right)}^{16-k}}{{\left( -\dfrac{3}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{k}}=C_{16}^{k}{{2}^{16-k}}{{\left( -3 \right)}^{k}}{{x}^{16-\dfrac{4}{3}k}}.$
Theo đề bài ta cần tìm k sao cho $16-\dfrac{4}{3}k=0\Leftrightarrow k=12.$
Do đó số hạng không chứa x trong khai triển là $C_{16}^{12}{{.2}^{4}}{{.3}^{12}}.$
Đáp án C.