Số giá trị nguyên của tham số $m \in [- 10; 10]$ để bất...

The Knowledge · 16/1/22

Câu hỏi: Số giá trị nguyên của tham số

m \in [- 10; 10]

để bất phương trình

\sqrt{3 + x} + \sqrt{6 - x} - \sqrt{18 + 3 x - x^{2}} \leq m^{2} - m + 1

nghiệm đúng

\forall x \in [- 3; 6]

là
A. 28
B. 20
C. 4
D. 19

HD: Đặt

t = \sqrt{3 + x} + \sqrt{6 - x} \Leftrightarrow t^{2} = 9 + 2 \sqrt{18 + 3 x - x^{2}} \Leftrightarrow \sqrt{18 + 3 x - x^{2}} = \frac{t^{2} - 9}{2}

Do đó, bất phương trình trở thành:

t - \frac{t^{2} - 9}{2} \leq m^{2} - m + 1 \Leftrightarrow 2 m^{2} - 2 m + 2 \geq - t^{2} + 2 t + 9

Xét hàm số

t = \sqrt{3 + x} + \sqrt{6 - x}

với

x \in [- 3; 6]

, có

t^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{3 + x}} - \frac{1}{2 \sqrt{6 - x}}; t^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}

Dựa vào bảng biến thiên hàm số

t_{x}

, ta được

3 \leq t \leq 3 \sqrt{2}

Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow 2 m^{2} - 2 m + 2 \geq max_{[3; 3 \sqrt{2}]} f (t)

, với

f (t) = - t^{2} + 2 t + 9

Xét hàm số

f (t) = - t^{2} + 2 t + 9

trên

[3; 3 \sqrt{2}] \overset{}{\to} max_{[3; 3 \sqrt{2}]} f (t) = 6

Suy ra

2 m^{2} - 2 m + 2 \geq 6 \Leftrightarrow m^{2} - m - 2 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} m \geq 2 \\ m \leq - 1 \end{aligned}

Kết hợp với

m \in Z; m \in [- 10; 10] \Rightarrow

có 19 giá trị nguyên m cần tìm.

Đáp án D.

Số giá trị nguyên của tham số m∈[−10;10] để bất...