Số giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để bất...

HD: Đặt $t=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=9+2\sqrt{18+3\text{x}-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \sqrt{18+3\text{x}-{{x}^{2}}}=\dfrac{{{t}^{2}}-9}{2}$
Do đó, bất phương trình trở thành: $t-\dfrac{{{t}^{2}}-9}{2}\le {{m}^{2}}-m+1\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-2m+2\ge -{{t}^{2}}+2t+9$
Xét hàm số $t=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}$ với $x\in \left[ -3;6 \right]$, có ${t}'=\dfrac{1}{2\sqrt{3+x}}-\dfrac{1}{2\sqrt{6-x}};{t}'=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$
Dựa vào bảng biến thiên hàm số ${{t}_{x}}$, ta được $3\le t\le 3\sqrt{2}$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-2m+2\ge \underset{\left[ 3;3\sqrt{2} \right]}{\mathop{\max }} f(t)$, với $f(t)=-{{t}^{2}}+2t+9$
Xét hàm số $f(t)=-{{t}^{2}}+2t+9$ trên $\left[ 3;3\sqrt{2} \right]\xrightarrow{{}}\underset{\left[ 3;3\sqrt{2} \right]}{\mathop{\max }} f(t)=6$
Suy ra $2{{m}^{2}}-2m+2\ge 6\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-2\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge 2 \\
& m\le -1 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z};m\in \left[ -10;10 \right]\Rightarrow $ có 19 giá trị nguyên m cần tìm.