Google
Câu hỏi: Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| \sin x-\dfrac{x}{4} \right|$, $x\in \left( -\pi ;\pi \right)$ là:
A. 2.
B. 4.
C. 3.
D. 5.
A. 2.
B. 4.
C. 3.
D. 5.
Xét hàm số $y=f\left( x \right)=\sin x-\dfrac{x}{4}$ với $x\in \left( -\pi ;\pi \right)$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=\cos x-\dfrac{1}{4}$ ; ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \cos x=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}}\in \left( -\dfrac{\pi }{2};0 \right) \\
& x={{x}_{2}}\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right) \\
\end{aligned} \right.$
$f\left( {{x}_{1}} \right)=\sin {{x}_{1}}-\dfrac{{{x}_{1}}}{4}=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}-\dfrac{{{x}_{1}}}{4}<-\dfrac{\sqrt{15}}{4}+\dfrac{\pi }{8}<0$
$f\left( {{x}_{2}} \right)=\sin {{x}_{2}}-\dfrac{{{x}_{2}}}{4}=\dfrac{\sqrt{15}}{4}-\dfrac{{{x}_{2}}}{4}>\dfrac{\sqrt{15}}{4}-\dfrac{\pi }{8}>0$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khác ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$.
Suy ra hàm số $y=\left| \sin x-\dfrac{x}{4} \right|$, với $x\in \left( -\pi ;\pi \right)$ có 5 điểm cực trị.
Ta có ${f}'\left( x \right)=\cos x-\dfrac{1}{4}$ ; ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \cos x=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}}\in \left( -\dfrac{\pi }{2};0 \right) \\
& x={{x}_{2}}\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right) \\
\end{aligned} \right.$
$f\left( {{x}_{1}} \right)=\sin {{x}_{1}}-\dfrac{{{x}_{1}}}{4}=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}-\dfrac{{{x}_{1}}}{4}<-\dfrac{\sqrt{15}}{4}+\dfrac{\pi }{8}<0$
$f\left( {{x}_{2}} \right)=\sin {{x}_{2}}-\dfrac{{{x}_{2}}}{4}=\dfrac{\sqrt{15}}{4}-\dfrac{{{x}_{2}}}{4}>\dfrac{\sqrt{15}}{4}-\dfrac{\pi }{8}>0$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khác ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$.
Suy ra hàm số $y=\left| \sin x-\dfrac{x}{4} \right|$, với $x\in \left( -\pi ;\pi \right)$ có 5 điểm cực trị.
Đáp án D.