Số các giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ 0; 2023 \right]$ để...

Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\sqrt[3]{m-3x} \\
& v=x-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{u}^{3}}=m-3x \\
& {{v}^{3}}={{\left( x-2 \right)}^{3}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+m={{u}^{3}}+{{v}^{3}}+8$.
Từ giả thiết suy ra phương trình: ${{2}^{v+u}}+\left( {{u}^{3}}+{{v}^{3}}+8 \right){{2}^{v}}={{2}^{v+3}}+1$ $\Leftrightarrow {{2}^{u}}+{{u}^{3}}= {{2}^{-v}}+{{\left( -v \right)}^{3}}$.
Hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{2}^{t}}+{{t}^{3}}$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Từ đó suy ra: $u=-v$
$\Rightarrow \sqrt[3]{m-3x}=2-x$ $\Leftrightarrow m=\underbrace{{{\left( 2-x \right)}^{3}}+3x}_{f\left( x \right)}$.
+ Ta có: ${f}'\left( x \right)=-3{{\left( 2-x \right)}^{2}}+3$, cho ${f}'\left( x \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
+ BBT của hàm số $f\left( x \right)$
Để phương trình có đúng 1 nghiệm thì $\left[ \begin{aligned}
& m>8 \\
& m<4 \\
\end{aligned} \right. $, kết hợp với $ m\in \left[ 0; 2023 \right] $ và $ m\in \mathbb{Z} $ ta có: $ m\in \underbrace{\left\{ 0; 1; 2; 3 \right\}}_{4}\cup \underbrace{\left\{ 9; 10; 11; .......; 2023 \right\}}_{2015} $ $ \to $ có 2019 số nguyên.