Số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\log \left(...

Hàm số $y=\log \left( mx-m+2 \right)$ xác định khi $mx-m+2>0$ (*).
Trường hợp 1: $m=0\left( * \right)\Leftrightarrow 2>0$ luôn đúng với $\forall x\in \left[ \dfrac{1}{2};+\infty \right)$. Do đó $m=0$ nhận.
Trường hợp 2: $m>0\left( * \right)\Leftrightarrow x>\dfrac{m-2}{m}.$
Suy ra tập xác định của hàm số là $D=\left( \dfrac{m-2}{m};+\infty \right).$
Do đó, hàm số $y=\log \left( mx-m+2 \right)$ xác định trên $\left[ \dfrac{1}{2};+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{m-2}{m}<\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 0<m<4\Rightarrow $ có 3 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Trường hợp 3: $m<0\left( * \right)\Leftrightarrow x<\dfrac{m-2}{m}.$
Suy ra tập xác định của hàm số là $D=\left( -\infty ;\dfrac{m-2}{m} \right).$
Nhận thấy $\left[ \dfrac{1}{2};+\infty \right)\notin D$ nên không có giá trị $m<0$ nào thỏa mãn yêu cầu.
Kết hợp 3 trường hợp ta được $m\in \left\{ 0;1;2;3 \right\}$.
Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu đề ra.