Số các giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình...

Đặt: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+4x+m=a \\
& {{x}^{2}}-2x-m=b \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2{{x}^{2}}+2x-2=a+b-2$
Ta có: ${{2}^{a+b-2}}-{{2}^{a}}-{{2}^{b}}+4<0\Leftrightarrow {{2}^{a+b}}-{{2}^{a+2}}-{{2}^{b+2}}+{{2}^{4}}<0$
$\Leftrightarrow {{2}^{a}}\left( {{2}^{b}}-2 \right)-{{2}^{2}}\left( {{2}^{b}}-{{2}^{2}} \right)<0\Leftrightarrow \left( {{2}^{a}}-{{2}^{2}} \right)\left( {{2}^{b}}-{{2}^{2}} \right)<0$
Trường hợp 1: $\left\{ \begin{aligned}
& a>2 \\
& b<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+4x+m>2 \\
& {{x}^{2}}-2x-m<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+4x>2-m \\
& {{x}^{2}}-2x<2+m \\
\end{aligned} \right.$
Để phương trình có không quá $6$ nghiệm nguyên thì: $-1<2+m<2\Leftrightarrow -3<m<0$
Trường hợp 2: $\left\{ \begin{aligned}
& a<2 \\
& b>2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+4x+m<2 \\
& {{x}^{2}}-2x-m>2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+4x<2-m \\
& {{x}^{2}}-2x>2+m \\
\end{aligned} \right.$
Để phương trình có không quá $6$ nghiệm nguyên thì ta có:
$-4<2-m<-1\Leftrightarrow 1<m-2<4\Leftrightarrow 3<m<6$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên có: $4$ giá trị $m$ thỏa mãn.