Phương trình...

Ta có: $2^{x-2+\sqrt[3]{m-3 x}}+\left(x^{3}-6 x^{2}+9 x+m\right) 2^{x-2}=2^{x+1}+1 \Leftrightarrow 2^{\sqrt[3]{m-3 x}}+(x-2)^{3}+8+m-3 x=2^{3}+2^{2-x}$ $\Leftrightarrow 2^{\sqrt[3]{m-3 x}}+m-3 x=2^{2-x}+(2-x)^{3}$ Xét hàm số $f(t)=2^{t}+t^{3}$ trên $\mathbb{R}$. Ta có: $f^{\prime}(t)=2^{t} \ln 2+3 t^{2}>0, \forall t \in \mathbb{R}$. Suy ra hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Mà $f(\sqrt[3]{m-3 x})=f(2-x) \Leftrightarrow \sqrt[3]{m-3 x}=2-x \Leftrightarrow m-3 x=(2-x)^{3}$ $ \Leftrightarrow m=-x^{3}+6 x^{2}-9 x+8 $ Số nghiệm của phương trình là số giao điểm giữa đồ thị hàm số $y=-x^{3}+6 x^{2}-9 x+8$ và đường thẳng $y=m$. Xét hàm số $g(x)=-x^{3}+6 x^{2}-9 x+8$ trên $\mathbb{R}$. Ta có: $g^{\prime}(x)=-3 x^{2}+12 x-9 ; g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=3\end{array}\right.$
Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số g(x) thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi 4<m<8
Suy ra $a=4;b=8$.
Vậy $T={{b}^{2}}-{{a}^{2}}=48$