Phương trình...

Đặt $t={{2}^{x}},$ phương trình đã cho được viết lại là ${{t}^{6}}+6.{{t}^{4}}-{{m}^{3}}.{{t}^{3}}+\left( 15-3{{m}^{2}} \right){{t}^{2}}-6m.t+10=0$
$\Leftrightarrow {{t}^{6}}+6{{t}^{4}}+12{{t}^{2}}+8+3{{t}^{2}}+6={{m}^{3}}{{t}^{3}}+3{{m}^{2}}{{t}^{2}}+6mt+4$
$\Leftrightarrow {{\left( {{t}^{2}}+2 \right)}^{3}}+3\left( {{t}^{2}}+2 \right)={{\left( mt+1 \right)}^{3}}+3\left( mt+1 \right)\left( 1 \right)$
Dễ thấy hàm số $f\left( a \right)={{a}^{3}}+3a$ luôn tăng trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$
Do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2=mt+1\Leftrightarrow m=\dfrac{{{t}^{2}}+1}{t}$. Ta có: $t\ne 0\left( 2 \right)$
Xét hàm số: $g\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+1}{t},t\in \left( 0;8 \right].$ Bảng biến thiên:
$YCBT\Leftrightarrow \left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt thuộc $\left( 0;8 \right].$
Dự vào BBT, ta suy ra: $2<m\le \dfrac{65}{8}$. Suy ra các phần tử nguyên của m là $\left\{ 3;4;5;6;7;8 \right\}.$
Vậy tổng các giá trị nguyên thỏa mãn của m là 33.