Phương trình ${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}+{{\left(...

Ta có ${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}+{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=m\Leftrightarrow {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}+\dfrac{1}{{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}}=m\left( * \right)$
Đặt $t={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}\text{ }\left( t>0 \right).$
Khi đó phương trình $\left( * \right)\Leftrightarrow t+\dfrac{1}{t}=m.$
Xét $f\left( t \right)=t+\dfrac{1}{t}$ ta có $f'(t)=1-\dfrac{1}{{{t}^{2}}}.$
$f'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
t=-1 \\
t=1 \\
\end{matrix} \right..$
Bảng biến thiên
Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình $t+\dfrac{1}{t}=m$ có nghiệm $t>0$
Suy ra $m\ge 2.$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.