Phương trình ${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}+\left( 1-2a...

Đặt $t={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}};(t>0)\Rightarrow \dfrac{1}{t}={{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}$
${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}+\left( 1-2a \right){{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}-4=0\Leftrightarrow t=\left( 1-2a \right)\dfrac{1}{t}-4=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-4t+1-2a=0 (1)$
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'=4-\left( 1-2a \right)>0 \\
& S=a>0 \\
& P=1-2a>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{3}{2}<a<\dfrac{1}{2} (**)$
Theo đề ta có: ${{x}_{1}}-{{x}_{2}}={{\log }_{2+\sqrt{3}}}3\Leftrightarrow {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{{{\log }_{2+\sqrt{3}}}3}}\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{{{x}_{1}}}}}{{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{{{x}_{2}}}}=3}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{t}_{1}}}{{{t}_{2}}}=3\Rightarrow {{t}_{1}}=3{{t}_{2}} (2)$
Theo viet ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=4 (3) \\
& {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=1-2a (4) \\
\end{aligned} \right.$
Từ (2) và (3) ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=3 \\
& {{t}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.$
Thế vào (4) ta có: $a=\dfrac{1-{{t}_{1}}.{{t}_{2}}}{2}=-1\overset{(**)}{\mathop{\Rightarrow }} a\in \left( -\dfrac{3}{2};+\infty \right)$