Phương trình ${{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{\ln m}}+{{2}^{2+\ln...

Điều kiện: $-2\le x\le 2$. Phương trình đã cho tương đương
${{\left( \sqrt{2} \right)}^{3\ln m}}+4.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{\ln m}}=\left( x+\sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)\left( 4-{{x}^{2}}+2x\sqrt{4-{{x}^{2}}}+{{x}^{2}}+4 \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2} \right)}^{3\ln m}}+4.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{\ln m}}=\left( x+\sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)\left[ {{\left( x+\sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}+4 \right]$
$\Leftrightarrow {{\left[ {{\left( \sqrt{2} \right)}^{\ln m}} \right]}^{3}}+4.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{\ln m}}={{\left( x+\sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)}^{3}}+4\left( x+\sqrt{4-{{x}^{2}}} \right) \left( * \right)$
Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{t}^{3}}+4t$ có ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+4>0,\forall t\in \mathbb{R}$
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2} \right)}^{\ln m}}=\underbrace{x+\sqrt{4-{{x}^{2}}}}_{g\left( x \right)}.$
Xét hàm số: $g\left( x \right)=x+\sqrt{4-{{x}^{2}}},x\in \left[ -2;2 \right].$ Có ${g}'\left( x \right)=1-\dfrac{x}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}},x\in \left( -2;2 \right)$
Cho${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{4-{{x}^{2}}}=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\sqrt{2}$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán
$\Leftrightarrow 2<{{\left( \sqrt{2} \right)}^{\ln m}}<2\sqrt{2}\Leftrightarrow 2<\ln m<3\Leftrightarrow {{e}^{2}}<m<{{e}^{3}}.$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 8,9,10,11,.....,19,20 \right\}$. Vậy có tất cả 13 giá trị nguyên của m thỏa mãn.