Phương trình ${{2019}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{2-{{\cos }^{2}}x}$ có...

Điều kiện $2-c\text{o}{{\text{s}}^{2}}x\ge 0$, luôn đúng.
Phương trình $\Leftrightarrow {{2019}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{1+{{\sin }^{2}}x}\left( 1 \right)$.
Đặt $\sin x=t,t\in \left[ -1;1 \right]$ thì $\left( 1 \right)$ thành ${{2019}^{t}}=t+\sqrt{1+{{t}^{2}}}\left( 2 \right)$.
Ta có ${{2019}^{t}}>0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]$ và $t+\sqrt{1+{{t}^{2}}}>t+\sqrt{{{t}^{2}}}=t+\left| t \right|\ge 0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]$.
Do đó $\left( 2 \right)\Leftrightarrow t={{\log }_{2019}}\left( t+\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2019}}\left( t+\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right)-t=0\left( 3 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2019}}\left( t+\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right)-t$, với $t\in \left[ -1;1 \right]$ có
$f'\left( t \right)=\dfrac{1}{\left( t+\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right)\ln 2019}.\left( 1+\dfrac{t}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}} \right)-1=\dfrac{1}{\sqrt{{{t}^{2}}+1}.\ln 2019}-1$
$=\dfrac{1-\sqrt{{{t}^{2}}+1}.\ln 2019}{\sqrt{{{t}^{2}}+1}.\ln 2019}<0,\forall t\in \left( -1;1 \right)$ $\Rightarrow f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ -1;1 \right]$.
Do đó trên $\left[ -1;1 \right]$, phương trình $f\left( t \right)=0$ nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất.
Mặt khác $f\left( 0 \right)=0$ nên $f\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=0$
Khi đó $\left( 3 \right)\Leftrightarrow t=0$ hay $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Bài ra $x\in \left[ -5\pi ;2020\pi \right]\Rightarrow k\pi \in \left[ -5\pi ;2020\pi \right]\Rightarrow k\in \left[ -5;2020 \right]$.
Mà $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k\in \left\{ -5;-4;-3;...;2020 \right\}$
Vậy phương trình đã cho có 2026 nghiệm thực trong đoạn $\left[ -5\pi ;2020\pi \right]$.