Google
Câu hỏi: Parabol $y=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}$ chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng $2\sqrt{2}$ thành hai phần có diện tích ${{S}_{1}}$ và ${{S}_{2}}$, trong đó ${{S}_{1}}<{{S}_{2}}$. Tìm tỉ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$.
A. $\dfrac{3\pi +2}{12\pi }$.
B. $\dfrac{9\pi -2}{3\pi +2}$.
C. $\dfrac{3\pi +2}{21\pi -2}$.
D. $\dfrac{3\pi +2}{9\pi -2}$.
A. $\dfrac{3\pi +2}{12\pi }$.
B. $\dfrac{9\pi -2}{3\pi +2}$.
C. $\dfrac{3\pi +2}{21\pi -2}$.
D. $\dfrac{3\pi +2}{9\pi -2}$.
Phương trình đường tròn tâm O có bán kính $R=2\sqrt{2}$ là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8.$
Ta có parabol và đường tròn như hình vẽ bên dưới.
Giao điểm của parabol và đường tròn là nghiệm của hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8 \\
& y=\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\pm 2 \\
& y=2 \\
\end{aligned} \right.$
Vì parabol và đường tròn đều đối xứng qua trục Oy nên ta có
${{S}_{1}}=2\int\limits_{0}^{2}{\left( \sqrt{8-{{x}^{2}}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right)dx=2\pi +\dfrac{4}{3},{{S}_{2}}=\pi {{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{S}_{1}}=6\pi -\dfrac{4}{3}.}$ Do đó: $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{3\pi +2}{9\pi -2}$
Ta có parabol và đường tròn như hình vẽ bên dưới.
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8 \\
& y=\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\pm 2 \\
& y=2 \\
\end{aligned} \right.$
Vì parabol và đường tròn đều đối xứng qua trục Oy nên ta có
${{S}_{1}}=2\int\limits_{0}^{2}{\left( \sqrt{8-{{x}^{2}}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right)dx=2\pi +\dfrac{4}{3},{{S}_{2}}=\pi {{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{S}_{1}}=6\pi -\dfrac{4}{3}.}$ Do đó: $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{3\pi +2}{9\pi -2}$
Đáp án D.