Google
Câu hỏi: Ông B có khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có phương trình $y={{x}^{2}}$ và đường thẳng $y=25$. Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi một đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng một loại hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ bằng $\dfrac{9}{2}$
A. $OM=2\sqrt{5}$
B. $OM=15$
C. $OM=10$
D. $OM=3\sqrt{10}$
A. $OM=2\sqrt{5}$
B. $OM=15$
C. $OM=10$
D. $OM=3\sqrt{10}$
Điểm $M\in (P):y={{x}^{2}}$ nên gọi $M(a;{{a}^{2}})$
$\Rightarrow \overrightarrow{OM}=(a;{{a}^{2}})\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{OM}}=(a;-1)$
Do đó, phương trình đường thẳng OM là $a.(x-0)-1.(y-0)=0\Leftrightarrow y=ax$
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và OM là
${{x}^{2}}=ax\Leftrightarrow x(x-a)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=a \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $S=\int\limits_{0}^{a}{\left| {{x}^{2}}-ax \right|dx}=\int\limits_{0}^{a}{(-{{x}^{2}}+ax)dx}=\left. \left( -\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{a{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{a}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
Mà $S=\dfrac{9}{2}\Rightarrow \dfrac{{{a}^{3}}}{6}=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow a=3\Rightarrow M(3;9)$
Vậy $\overrightarrow{OM}=(3;9)\Rightarrow OM=3\sqrt{10}$
$\Rightarrow \overrightarrow{OM}=(a;{{a}^{2}})\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{OM}}=(a;-1)$
Do đó, phương trình đường thẳng OM là $a.(x-0)-1.(y-0)=0\Leftrightarrow y=ax$
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và OM là
${{x}^{2}}=ax\Leftrightarrow x(x-a)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=a \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $S=\int\limits_{0}^{a}{\left| {{x}^{2}}-ax \right|dx}=\int\limits_{0}^{a}{(-{{x}^{2}}+ax)dx}=\left. \left( -\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{a{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{a}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
Mà $S=\dfrac{9}{2}\Rightarrow \dfrac{{{a}^{3}}}{6}=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow a=3\Rightarrow M(3;9)$
Vậy $\overrightarrow{OM}=(3;9)\Rightarrow OM=3\sqrt{10}$
Đáp án D.