Google
Câu hỏi: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng $16m$ và độ dài trục bé bằng $10m$. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng $8m$ và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là $100.000$ đồng/ $1 {{m}^{2}}$. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
A. $7.862.000$ đồng.
B. $7.653.000$ đồng.
C. $7.128.000$ đồng.
D. $7.826.000$ đồng.
A. $7.862.000$ đồng.
B. $7.653.000$ đồng.
C. $7.128.000$ đồng.
D. $7.826.000$ đồng.
Giả sử elip có phương trình $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$, với $a>b>0$.
Từ giả thiết ta có $2a=16\Rightarrow a=8$ và $2b=10\Rightarrow b=5$
Vậy phương trình của elip là $\dfrac{{{x}^{2}}}{64}+\dfrac{{{y}^{2}}}{25}=1\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=-\dfrac{5}{8}\sqrt{64-{{y}^{2}}} \left( {{E}_{1}} \right) \\
& y=\dfrac{5}{8}\sqrt{64-{{y}^{2}}} \text{ } \left( {{E}_{1}} \right) \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường $\left( {{E}_{1}} \right); \left( {{E}_{2}} \right); x=-4; x=4$ và diện tích của dải vườn là $S=2\int\limits_{-4}^{4}{\dfrac{5}{8}\sqrt{64-{{x}^{2}}}\text{d}x}=\dfrac{5}{2}\int\limits_{0}^{4}{\sqrt{64-{{x}^{2}}}\text{d}x}$
Tính tích phân này bằng phép đổi biến $x=8\sin t$, ta được $S=80\left( \dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right)$
Khi đó số tiền là $T=80\left( \dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right).100000=7652891,82\simeq 7.653.000$.
Từ giả thiết ta có $2a=16\Rightarrow a=8$ và $2b=10\Rightarrow b=5$
Vậy phương trình của elip là $\dfrac{{{x}^{2}}}{64}+\dfrac{{{y}^{2}}}{25}=1\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=-\dfrac{5}{8}\sqrt{64-{{y}^{2}}} \left( {{E}_{1}} \right) \\
& y=\dfrac{5}{8}\sqrt{64-{{y}^{2}}} \text{ } \left( {{E}_{1}} \right) \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường $\left( {{E}_{1}} \right); \left( {{E}_{2}} \right); x=-4; x=4$ và diện tích của dải vườn là $S=2\int\limits_{-4}^{4}{\dfrac{5}{8}\sqrt{64-{{x}^{2}}}\text{d}x}=\dfrac{5}{2}\int\limits_{0}^{4}{\sqrt{64-{{x}^{2}}}\text{d}x}$
Tính tích phân này bằng phép đổi biến $x=8\sin t$, ta được $S=80\left( \dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right)$
Khi đó số tiền là $T=80\left( \dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right).100000=7652891,82\simeq 7.653.000$.
Đáp án B.