Google
Câu hỏi: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trông hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip là trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ ${{m}^{2}}$. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)
A. 7 862 000 đồng
B. 7 653 000 đồng
C. 7 128 000 đồng
D. 7 826 000 đồng
A. 7 862 000 đồng
B. 7 653 000 đồng
C. 7 128 000 đồng
D. 7 826 000 đồng
Giả sử elip có phương trình: $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$, với $a>b>0$
Từ giả thiết ta có $2a=16\Rightarrow a=8$ và $2b=10\Rightarrow b=5$
Vậy phương trình của elip là $\dfrac{{{x}^{2}}}{64}+\dfrac{{{y}^{2}}}{25}=1\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=-\dfrac{5}{8}\sqrt{64-{{y}^{2}}}\left( {{E}_{1}} \right) \\
& y=\dfrac{5}{8}\sqrt{64-{{y}^{2}}}\left( {{E}_{2}} \right) \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường $\left( {{E}_{1}} \right)$ ; $\left( {{E}_{2}} \right)$ ; $x=-4$ ; $x=4$ và diện tích dải vườn là $S=2\int\limits_{-4}^{4}{\dfrac{5}{8}\sqrt{64-{{y}^{2}}}dx}=\dfrac{5}{2}\int\limits_{0}^{4}{\sqrt{64-{{x}^{2}}}dx}$
Tính tích phân này bằng phép đổi biến $x=8\sin t$, ta được $S=80\left( \dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right)$
Khi đó số tiền là $T=80\left( \dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right).100000=7652891,82\approx 7.653.000$
Từ giả thiết ta có $2a=16\Rightarrow a=8$ và $2b=10\Rightarrow b=5$
Vậy phương trình của elip là $\dfrac{{{x}^{2}}}{64}+\dfrac{{{y}^{2}}}{25}=1\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=-\dfrac{5}{8}\sqrt{64-{{y}^{2}}}\left( {{E}_{1}} \right) \\
& y=\dfrac{5}{8}\sqrt{64-{{y}^{2}}}\left( {{E}_{2}} \right) \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường $\left( {{E}_{1}} \right)$ ; $\left( {{E}_{2}} \right)$ ; $x=-4$ ; $x=4$ và diện tích dải vườn là $S=2\int\limits_{-4}^{4}{\dfrac{5}{8}\sqrt{64-{{y}^{2}}}dx}=\dfrac{5}{2}\int\limits_{0}^{4}{\sqrt{64-{{x}^{2}}}dx}$
Tính tích phân này bằng phép đổi biến $x=8\sin t$, ta được $S=80\left( \dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right)$
Khi đó số tiền là $T=80\left( \dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right).100000=7652891,82\approx 7.653.000$
Đáp án B.