Google
Câu hỏi: Ông An có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ thì parabol có phương trình $y={{x}^{2}}$ và đường thẳng là $y=25$. Ông An dự định dung một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua điểm O và M trên parabol để trồng một loại hoa. Hãy giúp ông An xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ bằng $\dfrac{9}{2}$.
A. $OM=10$.
B. $OM=2\sqrt{5}$.
C. $OM=15$.
D. $OM=3\sqrt{10}$.
A. $OM=10$.
B. $OM=2\sqrt{5}$.
C. $OM=15$.
D. $OM=3\sqrt{10}$.
Do parabol có tính đối xứng qua trục tung nên ta có thể giả sử $M(a; {{a}^{2}}) \left( 0<a<5 \right)$.
Suy ra pt đường thẳng $y=ax$.
Từ đồ thị, ta có diện tích mảnh vườn trồng hoa: $S=\int\limits_{0}^{a}{\left( ax-{{x}^{2}} \right)}dx$
$\left. \left( \dfrac{a{{x}^{2}}}{2}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{0}^{a}=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{3}}}{6}=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow a=3\Rightarrow M\left( 3;9 \right)$
$\Rightarrow OM=\sqrt{M{{H}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{9}^{2}}}=3\sqrt{10}$
Suy ra pt đường thẳng $y=ax$.
Từ đồ thị, ta có diện tích mảnh vườn trồng hoa: $S=\int\limits_{0}^{a}{\left( ax-{{x}^{2}} \right)}dx$
$\left. \left( \dfrac{a{{x}^{2}}}{2}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{0}^{a}=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{3}}}{6}=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow a=3\Rightarrow M\left( 3;9 \right)$
$\Rightarrow OM=\sqrt{M{{H}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{9}^{2}}}=3\sqrt{10}$
Đáp án D.