Google
Câu hỏi: Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả hết nợ cho ngân hàng?
A. 22
B. 23
C. 21
D. 24
A. 22
B. 23
C. 21
D. 24
Gọi số tiền vay ban đầu là M, số tiền hoàn nợ mỗi tháng là m, lãi suất một tháng là r.
Hết tháng thứ nhất, số tiền cả vốn lẫn lãi nợ ngân hàng là $M+Mr=M\left( 1+r \right)$ (triệu đồng).
Sau khi hoàn nợ lần thứ nhất, số tiền còn nợ là $M\left( 1+r \right)-m$ (triệu đồng).
Sau khi hoàn nợ lần thứ hai, số tiền còn nợ là
$M\left( 1+r \right)-m+\left[ M\left( 1+r \right)-m \right]r-m=M{{\left( 1+r \right)}^{2}}-m\left( 1+r \right)-m$ (triệu đồng).
Sau khi hoàn nợ lần thứ ba, số tiền còn nợ là
$M{{\left( 1+r \right)}^{2}}-m\left( 1+r \right)-m+\left[ M{{\left( 1+r \right)}^{2}}-m\left( 1+r \right)-m \right]r-m$
$=M{{\left( 1+r \right)}^{3}}-m{{\left( 1+r \right)}^{2}}-m\left( 1+r \right)-m$ (triệu đồng).
Lập luận tương tự, sau khi hoàn nợ lần thứ n, số tiền còn nợ là
$M{{\left( 1+r \right)}^{n}}-m{{\left( 1+r \right)}^{n-1}}-m{{\left( 1+r \right)}^{n-2}}-...-m\left( 1+r \right)-m=M{{\left( 1+r \right)}^{n}}-\dfrac{m\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n-1}}-1 \right]}{r}$.
Sau tháng thứ n trả hết nợ thì ta có $M{{\left( 1+r \right)}^{n}}-\dfrac{m\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n-1}}-1 \right]}{r}=0\Leftrightarrow m=\dfrac{Mr{{\left( 1+r \right)}^{n}}}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}$
$\Leftrightarrow m=\left( m-M\text{r} \right){{\left( 1+r \right)}^{n}}\Leftrightarrow {{\left( 1+r \right)}^{n}}=\dfrac{m}{m-M\text{r}}\Leftrightarrow n={{\log }_{\left( 1+r \right)}}\left( \dfrac{m}{m-M\text{r}} \right)$
Thay số với $M=100.000.000,r=0,7\%,m=5.000.000$ ta tính được $n\approx 21,62$ (tháng).
Vậy sau 22 tháng người đó trả hết nợ ngân hàng.
Hết tháng thứ nhất, số tiền cả vốn lẫn lãi nợ ngân hàng là $M+Mr=M\left( 1+r \right)$ (triệu đồng).
Sau khi hoàn nợ lần thứ nhất, số tiền còn nợ là $M\left( 1+r \right)-m$ (triệu đồng).
Sau khi hoàn nợ lần thứ hai, số tiền còn nợ là
$M\left( 1+r \right)-m+\left[ M\left( 1+r \right)-m \right]r-m=M{{\left( 1+r \right)}^{2}}-m\left( 1+r \right)-m$ (triệu đồng).
Sau khi hoàn nợ lần thứ ba, số tiền còn nợ là
$M{{\left( 1+r \right)}^{2}}-m\left( 1+r \right)-m+\left[ M{{\left( 1+r \right)}^{2}}-m\left( 1+r \right)-m \right]r-m$
$=M{{\left( 1+r \right)}^{3}}-m{{\left( 1+r \right)}^{2}}-m\left( 1+r \right)-m$ (triệu đồng).
Lập luận tương tự, sau khi hoàn nợ lần thứ n, số tiền còn nợ là
$M{{\left( 1+r \right)}^{n}}-m{{\left( 1+r \right)}^{n-1}}-m{{\left( 1+r \right)}^{n-2}}-...-m\left( 1+r \right)-m=M{{\left( 1+r \right)}^{n}}-\dfrac{m\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n-1}}-1 \right]}{r}$.
Sau tháng thứ n trả hết nợ thì ta có $M{{\left( 1+r \right)}^{n}}-\dfrac{m\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n-1}}-1 \right]}{r}=0\Leftrightarrow m=\dfrac{Mr{{\left( 1+r \right)}^{n}}}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}$
$\Leftrightarrow m=\left( m-M\text{r} \right){{\left( 1+r \right)}^{n}}\Leftrightarrow {{\left( 1+r \right)}^{n}}=\dfrac{m}{m-M\text{r}}\Leftrightarrow n={{\log }_{\left( 1+r \right)}}\left( \dfrac{m}{m-M\text{r}} \right)$
Thay số với $M=100.000.000,r=0,7\%,m=5.000.000$ ta tính được $n\approx 21,62$ (tháng).
Vậy sau 22 tháng người đó trả hết nợ ngân hàng.
Đáp án A.