Google
Câu hỏi: Một lò xo nhẹ có chiều dài tự nhiên là $40 \mathrm{~cm}$ được treo thằng đứng với đầu trên cố định, đầu dưới gắn vào vật nhỏ có khối lượng $m_1=200 \mathrm{~g}$. Người ta dán vào phía dưới $m_1$ vật nhỏ thứ hai có khối lượng $m_2=m_1$ bởi một lớp keo mỏng. Khi hệ cân bằng, lò xo có chiều dài $44 \mathrm{~cm}$. Lấy $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2 ; \pi^2=10$. Nâng hệ vật theo phương thẳng đứng đến khi lò xo có chiều dài $38 \mathrm{~cm}$ rồi thả nhẹ. Biết $m_2$ rời khỏi $m_1$ khi lực kéo giữa chúng đạt tới $3,5 \mathrm{~N}$. Sau khi hai vật tách rời nhau, khoảng cách giữa $m_1$ và $m_2$ tại thời điểm $m_1$ qua vị trí lò xo có chiều dài $38 \mathrm{~cm}$ lần đầu tiên gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. $23 \mathrm{~cm}$
B. $31 \mathrm{~cm}$
C. $25 \mathrm{~cm}$
D. $29 \mathrm{~cm}$
GĐ1: Hai vật cùng dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O
$\Delta {{l}_{0}}={{l}_{cb}}-{{l}_{0}}=44-40=4cm\to \omega =\sqrt{\dfrac{g}{\Delta {{l}_{0}}}}=\sqrt{\dfrac{1000}{4}}=5\sqrt{10}\approx 5\pi $ (rad/s)
$A={{l}_{cb}}-{{l}_{\min }}=44-38=6$ (cm)
Chọn chiều dương hướng xuống. Định luật II Niuton cho vật ${{m}_{2}}$ tại vị trí tách:
${{P}_{2}}-T={{m}_{2}}a\Rightarrow {{m}_{2}}g-T=-{{m}_{2}}{{\omega }^{2}}x\Rightarrow 0,2.10-3,5=-0,2.{{\left( 5\sqrt{10} \right)}^{2}}x\Rightarrow x=0,03m$
$v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=5\sqrt{10}.\sqrt{{{6}^{2}}-{{3}^{2}}}=15\sqrt{30}$ (cm/s)
GĐ2: Vật ${{m}_{2}}$ bị tách, vật ${{m}_{1}}$ dao động điều hòa quanh vị trí O’
$\omega '=\sqrt{\dfrac{g}{\Delta {{l}_{0}}/2}}=\sqrt{\dfrac{1000}{4/2}}=10\sqrt{5}$ (rad/s) và $x'=x+\dfrac{\Delta {{l}_{0}}}{2}=3+\dfrac{4}{2}=5$ (cm)
$A'=\sqrt{x{{'}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{\omega '} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( \dfrac{15\sqrt{30}}{10\sqrt{5}} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{154}}{2}$ (cm)
$t=\dfrac{\arccos \dfrac{x'}{A}+\arccos \dfrac{x''}{A}}{\omega '}=\dfrac{\arccos \dfrac{5}{\sqrt{154}/2}+\arccos \dfrac{-4}{\sqrt{154}/2}}{10\sqrt{5}}\approx 0,123$ (s)
Vật ${{m}_{2}}$ chuyển động nhanh dần đều xuống dưới với gia tốc g
$d={{s}_{A}}+vt+\dfrac{1}{2}g{{t}^{2}}=9+15\sqrt{30}.0,123+\dfrac{1}{2}.1000.0,{{123}^{2}}\approx 28,1$ (cm).
A. $23 \mathrm{~cm}$
B. $31 \mathrm{~cm}$
C. $25 \mathrm{~cm}$
D. $29 \mathrm{~cm}$
$\Delta {{l}_{0}}={{l}_{cb}}-{{l}_{0}}=44-40=4cm\to \omega =\sqrt{\dfrac{g}{\Delta {{l}_{0}}}}=\sqrt{\dfrac{1000}{4}}=5\sqrt{10}\approx 5\pi $ (rad/s)
$A={{l}_{cb}}-{{l}_{\min }}=44-38=6$ (cm)
Chọn chiều dương hướng xuống. Định luật II Niuton cho vật ${{m}_{2}}$ tại vị trí tách:
${{P}_{2}}-T={{m}_{2}}a\Rightarrow {{m}_{2}}g-T=-{{m}_{2}}{{\omega }^{2}}x\Rightarrow 0,2.10-3,5=-0,2.{{\left( 5\sqrt{10} \right)}^{2}}x\Rightarrow x=0,03m$
$v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=5\sqrt{10}.\sqrt{{{6}^{2}}-{{3}^{2}}}=15\sqrt{30}$ (cm/s)
GĐ2: Vật ${{m}_{2}}$ bị tách, vật ${{m}_{1}}$ dao động điều hòa quanh vị trí O’
$\omega '=\sqrt{\dfrac{g}{\Delta {{l}_{0}}/2}}=\sqrt{\dfrac{1000}{4/2}}=10\sqrt{5}$ (rad/s) và $x'=x+\dfrac{\Delta {{l}_{0}}}{2}=3+\dfrac{4}{2}=5$ (cm)
$A'=\sqrt{x{{'}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{\omega '} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( \dfrac{15\sqrt{30}}{10\sqrt{5}} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{154}}{2}$ (cm)
$t=\dfrac{\arccos \dfrac{x'}{A}+\arccos \dfrac{x''}{A}}{\omega '}=\dfrac{\arccos \dfrac{5}{\sqrt{154}/2}+\arccos \dfrac{-4}{\sqrt{154}/2}}{10\sqrt{5}}\approx 0,123$ (s)
Vật ${{m}_{2}}$ chuyển động nhanh dần đều xuống dưới với gia tốc g
$d={{s}_{A}}+vt+\dfrac{1}{2}g{{t}^{2}}=9+15\sqrt{30}.0,123+\dfrac{1}{2}.1000.0,{{123}^{2}}\approx 28,1$ (cm).
Đáp án D.