Google
Câu hỏi: Một khối nón tròn xoay có độ dài đường sinh bằng 2a, thể tích lớn nhất của khối nón đó bằng
A. $\dfrac{16\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{9}.$
B. $\dfrac{16\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{27}.$
C. $\dfrac{4\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{9}.$
D. $\dfrac{8\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{9}.$
A. $\dfrac{16\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{9}.$
B. $\dfrac{16\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{27}.$
C. $\dfrac{4\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{9}.$
D. $\dfrac{8\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{9}.$
Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy và độ dài chiều cao của hình nón.
Khi đó ${{r}^{2}}+{{h}^{2}}={{\left( 2a \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}.$
Thể tích khối nón được tính bởi công thức $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h.$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có:
$4{{a}^{2}}=\dfrac{1}{2}{{r}^{2}}+\dfrac{1}{2}{{r}^{2}}+{{h}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}{{r}^{4}}{{h}^{2}}}\Rightarrow {{r}^{2}}h\le \dfrac{16\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}.$
$\Rightarrow V\le \dfrac{16\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{27}$. Dấu đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{r}^{2}}+{{h}^{2}}=4{{a}^{2}} \\
& {{r}^{2}}=2{{h}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left( r;h \right)=\left( \dfrac{2\sqrt{6}a}{3};\dfrac{2\sqrt{3}a}{3} \right)$.
Vậy khối nón có thể lớn nhất bằng $\dfrac{16\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{27}.$
Khi đó ${{r}^{2}}+{{h}^{2}}={{\left( 2a \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}.$
Thể tích khối nón được tính bởi công thức $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h.$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có:
$4{{a}^{2}}=\dfrac{1}{2}{{r}^{2}}+\dfrac{1}{2}{{r}^{2}}+{{h}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}{{r}^{4}}{{h}^{2}}}\Rightarrow {{r}^{2}}h\le \dfrac{16\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}.$
$\Rightarrow V\le \dfrac{16\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{27}$. Dấu đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{r}^{2}}+{{h}^{2}}=4{{a}^{2}} \\
& {{r}^{2}}=2{{h}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left( r;h \right)=\left( \dfrac{2\sqrt{6}a}{3};\dfrac{2\sqrt{3}a}{3} \right)$.
Vậy khối nón có thể lớn nhất bằng $\dfrac{16\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{27}.$
Đáp án B.