Google
Câu hỏi: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh $20cm$ bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng một nửa elip như hình bên. Biết một nửa trục lớn $AB=6cm$, trục bé $CD=8cm$. Diện tích bề mặt hoa văn đó bằng
A. $400-48\pi $ $\left( c{{m}^{2}} \right)$.
B. $400-96\pi $ $\left( c{{m}^{2}} \right)$.
C. $400-24\pi $ $\left( c{{m}^{2}} \right)$.
D. $400-36\pi $ $\left( c{{m}^{2}} \right)$.
Chứng minh: Công thức tính diện tích elip $\left( E \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ (trục lớn $2a$, độ dài trục bé $2b$ ).
Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích của elip nằm ở góc phần tư thứ nhất $\Rightarrow $ ${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{a}{b\sqrt{1-\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}}\text{d}x}$ (đvdt).
Đặt $\dfrac{x}{a}=\sin t$ $\Rightarrow $ $\text{d}x=a\cos t\text{d}t$ ; Đổi cận $x=0$ $\Rightarrow $ $t=0$, $x=a$ $\Rightarrow $ $t=\dfrac{\pi }{2}$.
Suy ra ${{S}_{1}}=b\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{a\sqrt{1-{{\sin }^{2}}t}\cos t\text{d}t}=ab\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}t\text{d}t}=\dfrac{ab}{2}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 1+\cos 2t \right)\text{d}t}=\dfrac{ab}{2}\left. \left( t+\dfrac{1}{2}\sin 2t \right) \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}=\dfrac{\pi ab}{4}$.
Vậy ${{S}_{elip}}=4{{S}_{1}}=\pi ab$.
Áp dụng: Diện tích của nửa elip có độ dài một nửa trục lớn $AB=6cm$, trục bé $CD=8cm$ là $\dfrac{1}{2}\pi .6.4=12\pi $ $\left( c{{m}^{2}} \right)$.
Diện tích bề mặt hoa văn đó là $S={{S}_{hinh\_vuong}}-4{{S}_{nua\_elip}}={{20}^{2}}-4.12\pi =400-48\pi $ $\left( c{{m}^{2}} \right)$.
A. $400-48\pi $ $\left( c{{m}^{2}} \right)$.
B. $400-96\pi $ $\left( c{{m}^{2}} \right)$.
C. $400-24\pi $ $\left( c{{m}^{2}} \right)$.
D. $400-36\pi $ $\left( c{{m}^{2}} \right)$.
Chứng minh: Công thức tính diện tích elip $\left( E \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ (trục lớn $2a$, độ dài trục bé $2b$ ).
Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích của elip nằm ở góc phần tư thứ nhất $\Rightarrow $ ${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{a}{b\sqrt{1-\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}}\text{d}x}$ (đvdt).
Đặt $\dfrac{x}{a}=\sin t$ $\Rightarrow $ $\text{d}x=a\cos t\text{d}t$ ; Đổi cận $x=0$ $\Rightarrow $ $t=0$, $x=a$ $\Rightarrow $ $t=\dfrac{\pi }{2}$.
Suy ra ${{S}_{1}}=b\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{a\sqrt{1-{{\sin }^{2}}t}\cos t\text{d}t}=ab\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}t\text{d}t}=\dfrac{ab}{2}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 1+\cos 2t \right)\text{d}t}=\dfrac{ab}{2}\left. \left( t+\dfrac{1}{2}\sin 2t \right) \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}=\dfrac{\pi ab}{4}$.
Vậy ${{S}_{elip}}=4{{S}_{1}}=\pi ab$.
Áp dụng: Diện tích của nửa elip có độ dài một nửa trục lớn $AB=6cm$, trục bé $CD=8cm$ là $\dfrac{1}{2}\pi .6.4=12\pi $ $\left( c{{m}^{2}} \right)$.
Diện tích bề mặt hoa văn đó là $S={{S}_{hinh\_vuong}}-4{{S}_{nua\_elip}}={{20}^{2}}-4.12\pi =400-48\pi $ $\left( c{{m}^{2}} \right)$.
Đáp án A.